математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

11.1.3. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

На прошлом занятии (11.1.2), рассматривая примеры на  нахождение неопределенных интегралов, мы познакомились со способом подведения под знак дифференциала (мы называли его вторым способом). Фактически мы вводили новую переменную, не называя ее, а только подразумевая.

На этом занятии мы закрепим навык замены переменной в неопределенном интеграле и знания  свойств и таблицы интегралов. Нам опять понадобится наш лист Интегралы

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

  1. ∫(6х+5)3dx. Как будем решать? Смотрим в лист Интегралы и рассуждаем примерно так: подынтегральная функция представляет собой степень, а у нас есть формула для интеграла степени (формула 1)), но в ней основание степени u и переменная интегрирования тоже u.

А у нас переменная интегрирования х, а основание степени (6х+5). Сделаем замену переменной интегрирования: вместо dx запишем d (6х+5). Что изменилось? Так как, то, что стоит после знака дифференциала d, по умолчанию, дифференцируется,

то d (6x+5)=6dx, т.е. при замене переменной х на переменную (6х+5) подынтегральная функция возросла в 6 раз, поэтому перед знаком интеграла ставим множитель 1/6. Записать эти рассуждения можно так:

Итак, мы решили этот пример введением новой переменной (переменную х заменили на переменную 6х+5). А куда записали новую переменную (6х+5)? Под знак дифференциала. Поэтому, данный метод введения новой переменной часто называют методом (или способом) подведения (новой переменной) под знак дифференциала.

Во втором примере мы вначале получили степень с отрицательным показателем, а  затем подвели под знак дифференциала (7х-2) и использовали формулу интеграла степени 1) (Интегралы).

Разберем решение примера 3.

Перед интегралом стоит коэффициент 1/5. Почему? Так как d (5x-2)=5dx, то, подведя под знак дифференциала функцию u=5x-2, мы увеличили подынтегральное выражение в 5 раз, поэтому, чтобы значение данного выражения не изменилось — надо было разделить на 5, т.е. умножить на 1/5. Далее, была использована формула 2) (Интегралы).

 

Навигация

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх