математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

11.1.9.1. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

Пора познакомиться с мощнейшим средством исследования в математике, физике, механике и других точных дисциплинах. Это средство — определенный интеграл. В средней школе определенный интеграл применяют при вычислениях площадей криволинейных трапеций, объемов тел вращения, нахождении моментов инерции и т.д.

Что такое определенный интеграл? Чем он отличается от неопределенного, с которым мы уже достаточно знакомы.

Сравните:

 a и b — это границы, в которых изменяется переменная интегрирования х.

Сравниваем далее:

Неопределенный интеграл графически представляет собой семейство кривых, совмещаемых параллельным переносом (11.1.9).

Определенный интеграл (см. рисунок слева) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, а слева и справа прямыми x=a и х=b.

Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции:

Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла.

Пример 1.

 

Найдем первообразную F (x) для подынтегральной функции f (x)=3x²-2x+1, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л).

Пример 2.

Возникает вопрос: раз определенный интеграл выражает собой площадь криволинейной трапеции, то нельзя ли увидеть эту криволинейную трапецию? А можно! Проиллюстрируем пример 2.

Полученный результат

выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=(x+1)4, осью Ох и прямыми: х=0 (осью Оy) и х=1.

График функции y=(x+1)4 - парабола, ветви которой направлены вверх,

а вершина находится в точке О′(-1; 0).

Площадь этой криволинейной трапеции:

 

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх