математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

11.1.9. Нахождение первообразной по начальным условиям

Вспомним определения:

1. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство:

F′(x)=f (x).

2. Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом.

Как можно представить себе неопределенный интеграл

где F (x) - первообразная функции f (x), а С - некоторая постоянная величина?

Если в данном примере или задаче не даются начальные условия для нахождения величины С, то мы получаем неоднозначную функцию F (x)+С - семейство интегральных кривых. Графики этих кривых можно совместить с помощью параллельного переноса. Из семейства этих кривых нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

Пример 1. Найти для функции f (x)=1-2x первообразную, график которой проходит через точку М(3; 2).

Решение.

F (x)=∫(1-2x) dx=∫dx-2∫xdx=x-x²+C.

Так как F (3)=2 по условию, то получаем равенство:

2=3-3²+С;

2=3-9+С;

2=-6+С → С=8.

Тогда F (x)=x-x²+8.

Пример 2. Найти ∫(sinx-cosx) dx, если при π/2 первообразная равна 6.

Решение.

∫(sinx-cosx) dx=∫sinxdx-∫cosxdx=-cosx-sinx+C.

По условию F (π/2)=6. Получаем равенство: -cos (π/2) -sin (π/2)+C=6;

0-1+C=6 → C=6+1; C=7.

Искомая функция F (x)=-cosx-sinx+7.

Пример 3. Найти первообразную для функции

принимает значение, равное нулю.

Решение.

 

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх