математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график



style="display:block"
data-ad-client="ca-pub-8602906481123293"
data-ad-slot="8834522701"
data-ad-format="auto">

  • Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
  • Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
  • Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.
  • Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.
  • Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

  • а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
  •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
  •  ax∙ay=ax+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
  •  ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • (ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
  •  (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
  • (a/b)x=ax/by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
  •   а=1/ax
  •  (a/b)-x=(b/a)x.

Примеры.

1) Построить график функции y=2xНайдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=20=1;                   Точка А.

x=1, y=21=2;                   Точка В.

x=2, y=22=4;                   Точка С.

x=3, y=23=8;                   Точка D.              

x=-1, y=2-1=1/2=0,5;       Точка K.

x=-2, y=2-2=1/4=0,25;     Точка M.

x=-3, y=2-3=1/8=0,125;   Точка N.

Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=(½)0=1;                  Точка A.

x=1, y=(½)1=½=0,5;          Точка B.

x=2, y=(½)2=¼=0,25;        Точка C.

x=3, y=(½)3=1/8=0,125;    Точка D.

x=-1, y=(½)-1=21=2;          Точка K.

x=-2, y=(½)-2=22=4;          Точка M.

x=-3, y=(½)-3=23=8;          Точка N.

 

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции  0<(1/2)<1.

3) В одной координатной плоскости построить графики функций: 

y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.

График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля  (E (y)=R+).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

 

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3x=4-x.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.

 

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

 

Ответ: 1.

 

 

 

 

2) 0,5х=х+3.

 

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х

(y=(1/2)x )

 и у=х+3.

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Ответ: -1.

 

 

Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

Решение.

 1) y=-2

Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.

0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

— ∞<-2x<0.

Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

 2) y=(1/3)x+1;

0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

0+1<(1/3)x+1<+∞+1;

1<(1/3)x+1<+∞.

Ответ: Е(у)=(1; +∞).

 3) y=3x+1-5.

Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.

0<3x<+∞;   умножаем все части двойного неравенства на 3:

0∙3<3x3<(+∞)∙3;

0<3x∙3<+∞;  из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

0-5<3x∙3-5<+∞-5;

— 5<3x∙3-5<+∞.

Ответ: Е(у)=(-5; +∞).

Смотрите Карту сайта, и Вы найдете нужные Вам темы!

 

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх