математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

11.3.2. Решение простейших показательных уравнений

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней.

Примеры.

Решить уравнение:

1) 5x=125.  Представим число 125 в виде степени числа 5:

5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

x=3.

2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:

(22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy  

22x=25;

2x=5  |:2

x=2,5.

 3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:

32x-1=34;  приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:

2x-1=4;  решаем простейшее линейное уравнение:

2x=4+1;

2x=5  |:2;

x=2,5.

 

К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.

Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.

 

 

 

 

 

Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.

Переносим степень из правой части уравнения в левую.

Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.

 

6) 7∙5x-5x+1=2∙53.

Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( ax∙ay=ax+y ), поэтому:

7∙5x-5x∙51=2∙53;

5x(7-5)=2∙53;  вынесли общий множитель за скобки.

5x∙2=2∙53     |:2

5x=53;  отсюда следует:

x=3.

7) 3x+2+4∙3x+1=21.  Применим формулу: ax+y=ax∙ay  (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):

3x∙32+4∙3x∙31=21; вынесем общий множитель за скобки:

3x(9+12)=21;

3x∙21=21  |:21

3x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.

3x=30;

x=0.

51+2x+52x+3=650.  Решаем аналогично.

51∙52x+52x∙53=650;

52x(5+125)=650;

52x∙130=650   |:130

52x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.

2x=1  |:2

x=0,5.

 

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх