математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

11.3.4. Решение показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям

Многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax2+bx+c=0.

Примеры.

Решить уравнение:

1) 4x+2x+1-3=0. Представим 4x в виде степени с основанием 2.

(22)x+2x∙21-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:

(2x)2+2∙2x-3=0;

вводим новую переменную: пусть 2x=y;

y2+2y-3=0.

Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=12-1∙(-3)=1+3=4=22 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y1+y2=-2, y1∙y2=-3. Подбираем корни: y1=-3, y2=1.

Возвращаемся к переменной х:

1) 2x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

2) 2x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

2x=20;

x=0.

Ответ: 0.

2) 0,252x-5∙0,52x+4=0.  Решаем аналогично. Представляем 0,252xв виде степени с основанием 0,5.

(0,52)2x-5∙0,52x+4=0;

(0,52x)2-5∙0,52x+4=0.

0,52x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:

y2-5y+4=0;

Дискриминант D=b2-4ac=52-4∙1∙4=25-16=9=32 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y1+y2=5, y1+y2=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х:

1) 0,52x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

0,52x=0,50;

2x=0;

x=0.

2) 0,52x=4; приведем степень  0,52 к основанию 2, применив формулу:   (1/a)=а-х 

(1/2)2x=22;

2-2x=22; приравниваем показатели:

— 2x=2 |:(-2)

x=-1.

Ответ: -1; 0.

Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а=1/ax  и  ax∙ay=ax+y .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета:  сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

 

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх