математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

11.3.5. Решение показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам

При решении показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам, поступают так же, как в примерах решения показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям, т. е. делают замену переменных, получают квадратное неравенство, которое решают, а затем возвращаются к прежней переменной.

Примеры.

Решить неравенство:

1) (0,5)2x+2<3∙(0,5)x.

Сделаем замену: пусть (0,5)х. Получаем неравенство:

у2+2<3y или y2-3y+2<0.

Разложим квадратный трехчлен y2-3y+2 на линейные множители по формуле:

ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Находим корни приведенного квадратного уравнения y2-3y+2=0. Дискриминант D=b2-4ac=32-4∙1∙2=9-8=1=12. Так как дискриминант является полным квадратом, то применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

у12=3, у1∙у2=2. Отсюда: у1=1, у2=2. Значит, y2-3y+2=(у-1)(у-2).

Решаем неравенство: (у-1)(у-2)<0 методом интервалов.

Получаем: ує(1; 2), отсюда: (0,5)хє(1; 2).

(0,5)х=1 → (0,5)х=(0,5)0х=0.

(0,5)х=2 → (1/2)x=2 → 2x=21 → -x=1; x=-1. Значит, хє(-1; 0).

Ответ: (-1; 0).

2) 9x-1<3x-1+6.

Представим 9х-1 в виде степени числа 3.

32 (x-1)<3x-1+6. Сделаем замену: 3х-1. Тогда получается квадратное неравенство: у2<y+6. Переносим слагаемые в левую часть.

у2-у-6<0. Находим корни приведенного квадратного уравнения у2-у-6=0. Проверим, возможно ли применить теорему Виета, ведь ею пользуются только, если корни  являются целыми числами. Гарантией этого будет дискриминант, который должен быть полным квадратом некоторого числа. Находим дискриминант D=b2-4ac=1-4∙(-6)=1+24=25=52. Дискриминант является полным квадратом числа 5, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: у12=1, у1∙у2=-6. Подходят значения: у1=-2 и у2=3.

Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители, получаем:

+2)(у-3)<0. Решаем полученное неравенство методом интервалов.

ує(-2; 3). Возвращаемся к переменной х:

3х-1є(-2; 3), но так как отрицательных значений степень 3х-1 принимать не может, то запишем: 3х-1є(0; 3). Определим интервал значений переменной х.

3х-10 при х-1 → -∞, так как число 3  в степени, стремящейся к минус бесконечности, фактически будет равным нулю, значит, х→ -∞.

Далее, 3х-1=3 → 3х-1=31 → х-1=1 → х=2.

Получили хє(-∞; 2).

Ответ: (-∞; 2).

 

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх