математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

11.4.8. Логарифм частного

Логарифм частного.

loga(x/y)=logaxlogay

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Вычислить:

1) log324-log38=log3(24:8)=log33=1;

2) log5600-log512-log550=log5(600:12:50)=log51=0;

3) lg800-lg25-lg3,2=lg (800:25:3,2)=lg10=1.

Найти: 

1) log252,5, если log2510=a.

log252,5=log25(25:10)=log2525-log2510=1-a;

2) lg0,73, если lg7,3=b.

lg0,73=lg (7,3:10)=lg7,3-lg10=b-1;

3) ln (e/5), если ln5=c.

ln (e/5)=lne-ln5=1-c.

Решить уравнение:

1) lgx-lg (x+3)=lg2-lg5.

Левую часть равенства можно записать в виде логарифма частного х и х+3, правую часть можно записать в виде логарифма частного чисел 2 и 5. Затем, потенцируя (убирая значки логарифма), получаем равенство двух дробей.

А зачем нам дроби, если можно обойтись без них?!

Решение.

Преобразуем данное уравнение так, чтобы и слева и справа были суммы логарифмов. Для этого переносим слагаемое lg5 с противоположным знаком из  правой части равенства в левую, а lg (x+3) с противоположным знаком перенесем из левой части в правую:

lgx+lg5=lg2+lg (x+3). Теперь преобразуем в каждой части равенства сумму логарифмов в логарифм произведения, применив формулу: logax+logay=loga(x•y)

lg (x∙5)=lg (2∙(x+3)). Потенцируем, получаем:

x∙5=2∙(x+3);

5x=2x+6;

5x-2x=6;

3x=6  |:3;

x=2.

Проверка. lg2+lg5=lg2+lg (2+3);

lg2+lg5=lg2+lg5.

Ответ: 2.

2) lg (x-2) -lg6=lg3-lg (x+5).

Решение.

Преобразуем уравнение так, чтобы слева и справа были суммы логарифмов.

lg (x-2)+lg (x+5)=lg3+lg6. Применим формулу логарифма произведения: logax+logay=loga(x•y)

lg ((x-2)∙(x+5))=lg (3∙6). Потенцируем и получаем:

(x-2)∙(x+5)=36;

x2-2x+5x-10=18;

x2+3x-28=0. Дискриминант D=b2-4ac=32-4∙1∙(-28)=9+112=121=112 – полный квадрат. По теореме Виета x1+x2=-3; x1x2=-28. Отсюда подбором находим: x1=-7; x2=4.

Значение х1 не удовлетворяет условию существования логарифма. Сделаем проверку при x2=4. Подставляем это значение вместо х в исходное уравнение.

lg (4-2) -lg6=lg3-lg (4+5);

lg2-lg6=lg3-lg9                            или                lg2+lg9=lg3+lg6

logaxlogay=loga(x/y)         или            logax+logay=loga(x•y).    

lg (2/6)=lg (3/9)                            или               lg (2•9)=lg (3•6);

lg (1/3)=lg (1/3)                            или                lg18=lg18.

Ответ: 4.

 

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх