математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

8.2.4. Основные тригонометрические тождества. Часть 1

Основные тригонометрические тождества.

secα читают: «секанс альфа». Это число, обратное косинусу альфа.

соsecα читают: «косеканс альфа». Это число, обратное синусу альфа.

Примеры. Упростить выражение:

а) 1 – sin2α; б) cos2α – 1; в) (1 – cosα)(1+cosα); г) sin2αcosα – cosα; д) sin2α+1+cos2α;

е) sin4α+2sin2αcos2α+cos4α; ж) tg2α – sin2αtg2α; з) ctg2αcos2α – ctg2α; и) cos2α+tg2αcos2α.

Решение.

а) 1 – sin2α = cos2α по формуле 1);

б) cos2α – 1 =- (1 – cos2α) = -sin2α также применили формулу 1);

в) (1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos2α = sin2α. Вначале мы применили формулу разности квадратов двух выражений: (a – b)(a+b) = a2 – b2, а затем формулу 1);

г) sin2αcosα – cosα. Вынесем общий множитель за скобки.

sin2αcosα – cosα = cosα(sin2α – 1) = -cosα(1 – sin2α) = -cosα cos2α = -cos3α. Вы, конечно, уже заметили, что так как 1 – sin2α = cos2α, то sin2α – 1 = -cos2α. Точно так же, если 1 – cos2α = sin2α, то cos2α – 1 = -sin2α.

д) sin2α+1+cos2α = (sin2α+cos2α)+1 = 1+1 = 2;

е) sin4α+2sin2αcos2α+cos4α. Имеем: квадрат выражения sin2α плюс удвоенное произведение sin2α на cos2α и плюс квадрат второго выражения cos2α. Применим формулу квадрата суммы двух выражений: a2+2ab+b2=(a+b)2. Далее применим формулу 1). Получим:  sin4α+2sin2αcos2α+cos4α = (sin2α+cos2α)2 = 12 = 1;

ж) tg2α – sin2αtg2α = tg2α(1 – sin2α) = tg2α cos2α = sin2α. Применили формулу 1), а затем формулу 2).

Запомните: tgα ∙ cosα = sinα.

Аналогично, используя формулу  3) можно получить: ctgα ∙ sinα = cosα. Запомнить!

з) ctg2αcos2α – ctg2α = ctg2α(cos2α – 1) = ctg2α (-sin2α) = -cos2α.

и) cos2α+tg2αcos2α = cos2α(1+tg2α) = 1. Мы вначале вынесли общий множитель за скобки, а содержимое скобок упростили по формуле 7).

Преобразовать выражение:

Мы применили формулу 7) и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений:

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2). У нас а = 1, b = tg2α.

Упростить:

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх