Математика - повторение. Алгебра. Справочный материал.
 
математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

Алгебра


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.

репетитор по скайпу

 

Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:

1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;

2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.

3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!

Напишите мне по адресу: at@mathematics-repetition.com или сразу добавляйтесь ко мне в скайп, и мы обо всём договоримся. Цены доступные.

С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко — автор этого сайта.

 

 Степень с натуральным показателем.

  •  Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается аn.
  •  Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, аn – степень, а – основание степени, n – показатель степени.
  •  а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
  •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
  •  aman=am+n   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
  •  am:an=am При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • (am)n=amn   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
  •  (a∙b)n=an∙bn   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
  • (a/b)n=an/bn  При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

Степень с целым показателем.

  •  (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а, т.еan=1/an. (10-2=1/102=1/100=0,01).
  •  (a/b)n=(b/a)n
  •  Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для  степеней с любым показателем.

 Стандартный вид числа.

Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a∙10n, где 1≤а<10 и n  (натуральное или целое) – есть порядок числа, записанного в стандартном виде.

 Одночлен.

  •  Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.
  •  Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.
  •  Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.

 Многочлен.

  •  Сумма одночленов называется многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена.
  •  Двучлен – это многочлен, состоящий из двух членов (одночленов).
  •  Трехчлен – это многочлен, состоящий из трех членов (одночленов).
  •  Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
  •  Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.

 Действия с одночленами и многочленами.

  •  Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
  •  Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.
  •  Вынесение общего множителя за скобки – простейший способ разложения многочлена на множители.
  •  Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.

 Формулы сокращенного умножения (ФСУ).

  • (a+b)2=a2+2ab+bКвадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
  •  (a-b)2=a2-2ab+b2  Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
  •  a2-b2=(a-b)(a+b)   Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
  •  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
  •  (a-b)3= a3-3a2b+3ab2-b3   Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
  •  a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)    Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
  •  a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)   Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.
  •  (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc   Квадрат суммы трех выражений равен сумме квадратов  этих выражений плюс всевозможные удвоенные попарные произведения самих выражений.
  •  Справка. Полный квадрат суммы двух выражений:   a2 + 2ab + b2 

Неполный квадрат суммы двух выражений:   a2 + ab + b2 

 Квадратная функция.

Функцию вида y=x2 называют квадратной функцией. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат. Ветви параболы y=x² направлены вверх.

 Кубическая функция.

Функцию вида y=x3 называют кубической функцией. Графиком кубической функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат. Ветви кубической параболы y=x³ находятся в I и III четвертях.

 Четная функция.

Функция f называется четной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение () также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(- x)=f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат (Оy). Функция y=x2 – четная.

 Нечетная функция.

Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение () также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(- x)=- f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция y=x3 – нечетная.

Квадратное уравнение.

Определение. Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b и c – любые действительные числа, причем а≠0, х – переменная, называется квадратным уравнением.

a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Решение неполных квадратных уравнений. 

  • ax2=0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0). Решение: х=0. Ответ: 0.
  • ax2+bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0). Решение: x (ax+b)=0 → x1=0 или ax+b=0 → x2=-b/a. Ответ: 0; -b/a.
  • ax2+c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0); Решение: ax2=-c → x2=-c/a.

Если (-c/a)<0, то действительных корней нет. Если (-с/а)>0, то имеем два действительных корня:

Решение полных квадратных уравнений.

  •  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида 

Дискриминант D=b2— 4ac.

Если D>0, то имеем два действительных корня:

Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).

Если D<0, то действительных корней нет.

  •  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором

 коэффициенте b

  •  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a-b+c=0. 

Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а:

x1=-1, x2=-c/a.

  •  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0

Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:

x1=1, x2=c/a.

Решение приведенных квадратных уравнений.

  • x2+px+q=0приведенное квадратное уравнение (первый коэффициент равен единице).

Приведенные квадратные уравнения можно решать по тем же формулам, что и полные квадратные уравнения, однако, чаще для решения приведенных квадратных уравнений применяют теорему Виета.

Теорема Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x1+x2=-p;  x1∙x2=q.

Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

x1+x2=-b/a;  x1∙x2=c/a.

Разложение квадратного трехчлена на множители.

ax2+bx+c=a·(x-x1)(x-x2),  где  x1,  x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Числовая последовательность.

Функция натурального аргумента называется числовой последовательностью, а числа, образующие последовательность — членами последовательности.

Числовую последовательность можно задать следующими способами: словесным, аналитическим, рекуррентным, графическим.

Арифметическая прогрессия. 

Определение арифметической прогрессии.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {an}, т. е. в арифметической прогрессии с членами:  a1, a2, a3, a4, a5, …, an-1, an, …   по определению:  a2=a1+d; a3=a2+d; a4=a3+d; a5=a4+d; …; an=an-1+d; …

Формула n-го члена арифметической прогрессии.  

an=a1+(n-1) d.                     Пройти тест.

Свойства арифметической прогрессии.

  • Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:

an=(an-1+an+1):2;

  • Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов:

an=(an-k+an+k):2.                  Пройти тест.

 Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии. 

1)   Sn= (a1+an)∙n/2;  2) Sn=(2a1+(n-1) d)∙n/2    Пройти тест.

Геометрическая прогрессия.

Определение геометрической прогрессии.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на  одно и то же для данной последовательности число q, называют геометрической прогрессией прогрессией. Число называют знаменателем геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии {bn}, т. е. в геометрической прогрессии b1, b2, b3, b4, b5, … , bn, … по определению:  b2=b1∙q; b3=b2∙q; b4=b3∙q; … ; bn=bn-1∙q.

Формула n-го члена геометрической прогрессии.

bn=b1∙qn-1.

Свойства геометрической прогрессии.

 Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой  и числом после запятой до периода дроби, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода дроби. Пример:

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника.

(α+β=90°)

Имеем: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Так как β=90°-α, то

sin (90°-α)=cosα;  cos (90°-α)=sinα;

tg (90°-α)=ctgα;  ctg (90°-α)=tgα.

Кофункции углов, дополняющих друг друга до 90°, равны между собой.

Основные тригонометрические тождества.

 Формулы сложения.

9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;

10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;

11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;

12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;

Формулы двойного и тройного аргументов.

17) sin2α=2sinαcosα;  18) cos2α=cos2α-sin2α;

19) 1+cos2α=2cos2α; 20) 1-cos2α=2sin2α

21) sin3α=3sinα-4sin3α;  22) cos3α=4cos3α-3cosα;

  Формулы преобразования суммы (разности) в произведение.

  Формулы преобразования произведения в сумму (разность).

Формулы половинного аргумента.

Синус и косинус любого угла.

Четность (нечетность) тригонометрических функций.

 Из тригонометрических функций четная только одна: y=cosx, остальные три – нечетные, т. е.  cos (-α)=cosα;

sin (-α)=-sinα;   tg (-α)=-tgα;   ctg (-α)=-ctgα.

Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.

Значения тригонометрических функций некоторых углов.

Радианы.

 1) 1 радиан – величина центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу данной окружности. 1 рад.≈57°.

2) Перевод градусной меры угла в радианную.

3) Перевод радианной меры угла в градусную.

Формулы приведения. 

Мнемоническое правило:

1. Перед приведенной функцией ставят знак приводимой.

2. Если в записи аргумента  π/2  (90°)  взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию.

Обратные тригонометрические функции.

Арксинусом числа а (arcsin a) называется угол из промежутка [-π/2; π/2 ], синус которого равен а.

arcsin(- a)=- arcsin a.

Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка [0; π], косинус которого равен а.

arccos (-a)=π – arccosa.

Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (-π/2; π/2 ), тангенс которого равен а.

arctg(- a)=- arctg a.

Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.

arcctg (-a)=π – arcctg a.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Общие формулы.

1) sin t=a,  0<a<1, тогда t=(-1)ⁿ ·arcsin a + πn, nϵZ;

2) sin t = — a, 0<a<1, тогда t=(-1)n+1·arcsin a +πn, nϵZ;

3) cos t=a, 0<a<1, тогда t=±arccos a +2πn, nϵZ;

4) cos t =-a, 0<a<1, тогда t=±(π-arccos a)+2πn, nϵZ;

5) tg t =a, a>0, тогда t=arctg a + πn, nϵZ;

6) tg t =-a, a>0, тогда t= — arctg a + πn, nϵZ;

7) ctg t=a, a>0, тогда t=arcctg a + πn, nϵZ;

8 ) ctg t= -a, a>0, тогда t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

Частные формулы.

1) sin t =0, тогда t=πn, nϵZ;

2) sin t=1, тогда t= π/2 +2πn, nϵZ;

3) sin t= -1, тогда t= — π/2 +2πn, nϵZ;

4) cos t=0, тогда t= π/2+ πn, nϵZ;

5) cos t=1, тогда t=2πn, nϵZ;

6) cos t=1, тогда t=π +2πn, nϵZ;

7) tg t =0, тогда t = πn, nϵZ;

8 ) ctg t=0, тогда t = π/2+πn, nϵZ.

Решение простейших тригонометрических неравенств.

1) sint<a (|a|<1), -π-arcsina+2πn<t<arcsina+2πn, nєZ.

2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn<t<π-arcsina+2πn, nєZ.

3) cost<a (|a|<1), arccosa+2πn<t<2π-arccosa+2πn, nєZ.

4) cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn<t<arccosa+2πn, nєZ.

5) tgt<a,   -π/2+πn<t<arctga+πn, nєZ.

6) tgt>a,      arctga+πn<t<π/2+πn, nєZ.

7) ctgt<a,    arcctga+πn<t<π+πn, nєZ.

8 ) ctgt>a,   πn<t<arcctga+πn, nєZ.

Прямая на плоскости.

  • Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0.
  •  Уравнение прямой с  угловым коэффициентом: y=kx+b  (k – угловой коэффициент).
  • Острый угол между прямыми y=k1x+b1 и y=k2x+b2 определяется по формуле:

  • k1=k2 — условие параллельности  прямых y=k1x+b1  и  y=k2x+b2.
  • Условие перпендикулярности этих же прямых: 

  • Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k, и проходящей

через точку М(х1; у1), имеет вид: у-у1=k (х-х1).

  • Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1; у1) и (х2; у2) имеет вид:

  • Длина отрезка М1М2 с концами в точках М11; у1) и М22; у2):

  • Координаты точки М(хо; уо) – середины отрезка М1М2

  • Координаты точки С(х; у), делящей  в заданном отношении λ отрезок М1М2  между точками М11; у1) и М22; у2):

  • Расстояние от точки М(хо; уо) до прямой ax+by+c=0:

Уравнение окружности.

  • Окружность с центром в начале координат: x2+y2=r2, r – радиус окружности.
  • Окружность с центром в точке (a; b) и радиусом r:  (x-a)2+(y-b)2=r2.

Пределы.

  • Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если эта переменная х при своем изменении неограниченно приближается к а.
  • Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.
  • Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
  • lim (u±v)=lim u±lim v;
  • lim (uv)=lim u∙lim v;

Преобразование (конструирование) графиков функций.

  • График функции y=- f(xполучается из графика функции y=f (x) зеркальным отражением от оси абсцисс.
  • График функции y=|f(x)| получается зеркальным отражением от оси абсцисс той части графика функции y=f (x), которая лежит ниже оси абсцисс.
  • График функции y=f(|x|) получается из графика функции y=f (x) следующим образом: оставляют часть графика справа от оси ординат и отображают эту же часть симметрично ей самой относительно оси ординат.
  • График функции y=Af(x) получается из графика функции y=f (x) растяжением в А раз вдоль оси ординат. (Ордината каждой точки графика функции y=f (x) умножается на число А).
  •  График функции y=f(kx) получается из графика функции y=f (x) сжатием в k раз при k>1 или растяжением в k раз при 0<k<1 вдоль оси абсцисс.
  •  График функции y=f(x- m) получается из графика функции y=f (x) параллельным переносом на m единичных отрезков вдоль оси абсцисс.
  •  График функции y=f(x)+n получается из графика функции y=f (x) параллельным переносом на n единичных отрезков вдоль оси ординат.

Периодическая функция.

  •  Функцию f называют периодической функцией с периодом Т≠0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках xT- x и T+x равны, т. е. выполняется равенствоf(x)=f(T- x)=f(T+x)
  •  Если функция f периодическая и имеет период Т, то функция y=f(kx+b), где Ak и b постоянны, а k≠0, также периодична, причем, ее период равен T/|k|.

Определение производной.

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Таблица производных. Примеры вычисления производных.

Уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой x0 имеет вид:

 y=f (х0)+f '(х0)(х х0). 

Физический смысл производной.

Если функция y=x (t)описывает путь, по которому прямолинейно движется некоторая точка, то скорость движения этой точки v (t)=x'(t), а ее ускорение a (t)=v'(t).

Основные правила дифференцирования.

Пусть С – постоянная, u=u (x), v=v (x) – функции, имеющие производные.

  1) C'=0; 192) x'=1; 2) (u±v)'=u'±v';

  3) (Cu)'=C∙u';  4) (uv)'=u'v+uv';

Формулы дифференцирования.

Нахождение функции, обратной данной.

1)Выразить переменную х через у;

2)В полученном равенстве вместо х написать у, а вместо у написать х.

Свойства взаимно обратных функций.

  • Графики взаимно обратных функций f (x) и g (x) симметричны относительно прямой у=х

(биссектрисы I и III координатных углов).

  • Область определения данной функции станет областью значений для обратной функции, а область значений данной функции станет областью определения для обратной функции: D (f)→E (g);  E (f)→D (g).

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Возрастание, убывание и экстремумы функции.

  • Функция возрастает на некотором промежутке, если производная данной функции положительна на всем этом промежутке.
  • Функция убывает на некотором промежутке, если производная данной функции отрицательна на всем этом промежутке.
  • Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х0 является точкой максимума функции.
  • Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то точка х0 является точкой минимума функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f (x) на отрезке [a; b], нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Схема исследования функции.

1) область определения D (f); 2) четность (нечетность); периодичность; 3) точки пресечения графика с осями координат; 4) промежутки знакопостоянства; 5) промежутки возрастания и убывания; 6) точки экстремума и значения функции в этих точках; 7) поведение функции в окрестности каждой «особой» точки и при больших по модулю значениях х.

Корень n-й степени.

Неотрицательное значение корня n-й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем.

Свойства корня n-й степени.

Показательная функция.

  • Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
  • Область определения показательной функции: D (y)=R - множество всех действительных чисел.
  • Область значений показательной функции: E (y)=R-множество всех положительных чисел.
  • Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.
  • Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

             Справедливы все свойства степенной функции:

  • а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
  •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
  •  ax∙ay=ax+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
  •  ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • (ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
  •  (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
  • (a/b)x=ax/by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
  •   а=1/ax
  •  (a/b)-x=(b/a)x.

Логарифм числа b по основанию a.

Логарифмом числа b по основанию а (logab)  называют показатель степени, в которую нужно  возвести число а, чтобы получить число b.

logab=n, если an=b. Примеры: 1) log28=3, т. к. 23=8;

2) log5(1/25)=-2, т. к. 5-2=1/52=1/25;                         3) log71=0, т. к. 70=1.

Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма — число а≠1. Значением логарифма может быть любое число.

Основное логарифмическое тождество.

Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.

Примеры.

Десятичный логарифм.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».

lg7=log107,        lg7 – десятичный логарифм числа 7.

Натуральный логарифм.

Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.

ln7=loge7,          ln7 – натуральный логарифм числа 7.

Свойства логарифмов справедливы для логарифмов по любому основанию.

Логарифм единицы.

loga1=0         Логарифм единицы равен нулю (a>0, a≠1).

Логарифм основания.

logaa=1         Логарифм числа а по основанию а равен единице (a>0, a≠1).

Логарифм произведения.

loga(x∙y)=logax+logay

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

Логарифм частного.

loga(x/y)=logaxlogay

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле:

logab=1/logba   Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.

Общая формула перехода к логарифму по другому основанию.

logab=logcb/logca

Логарифм числа b по основанию а равен  логарифму числа b по новому основанию с, деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с.

Логарифм степени.

logabk=klogab    Логарифм степени (bk) равен произведению показателя степени (k) на логарифм основания (b) этой степени.

Логарифм по основанию an.

loganb=(1/n)∙logab      Логарифм числа b по основанию an равен произведению дроби 1/n на логарифм числа b по основанию a.

Логарифм числа bk по основанию an.

loganbk=(k/n)∙logab   Формула является комбинацией двух предыдущих формул.

Логарифм числа br по основанию ar.

logarbr=logab   или  logab=logarbr

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

Формула представления числа в виде логарифма.

p=logaap   

Первообразная и интеграл.

  • Функция F (x) называется первообразной для функции  f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)=f (x).
  • Любая первообразная для функции f (x) на заданном промежутке может быть записана в виде F (x)+C, где F (x)– одна из первообразных для функции f (x), а  С – произвольная постоянная.
  • Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f (x) dx, где f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1) (∫f (x) dx)'=f (x);  2) d∫f (x) dx=f (x) dx;  3) ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx;

4) ∫dF (x) dx=F (x)+C или ∫F'(x) dx=F (x)+C;

5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;

6) ∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C.

Таблица интегралов.

Площадь криволинейной трапеции.

Объем тела вращения.

Дорогие гости моего сайта, все основные формулы математики 7-11 вы можете получить (совершенно бесплатно), кликнув по ссылке.

Всего там 431 формула и по алгебре и по геометрии. Полученный pdf файл советую распечатать в виде книжечки. Как это сделать - смотрите инструкцию здесь! Успешной вам учебы, друзья!


 

Комментирование закрыто.

Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх