математика-повторение

Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

6.6.1. Числовые неравенства

Если при сравнении чисел a и b разность a-b – положительное число, то a>b.

Если при сравнении чисел a и b разность a-b – отрицательное число, то a<b.

Если неравенства записываются знаками < или >, то их называют строгими неравенствами.

Если неравенства записывают знаками ≤ или ≥, то их называют нестрогими неравенствами.

Примеры.

1. Сравните числа а и b по их разности.

а) a-b=-7. Решение. Так как разность a-b – отрицательное число, то a<b.

б) a-b=4,5. Решение. Так как разность a-b – положительное число, то a>b.

в) a-b=0. Решение. Так как разность a-b  равна нулю, то a=b.

2. Сравните данные числа.

а) 0,099 и 0,1. Решение. Десятичные дроби сравниваются поразрядно: из двух чисел больше то, которое содержит больше единиц высшего разряда.

0,099 < 0,1, так как 0<1 (сравнили десятые доли чисел).

б) -5,43 и -5,6. Решение. -5,43 > -5,6, так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

так как из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, а меньше та, числитель которой меньше.

так как из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше, а меньше та, знаменатель которой больше.

Решение. Приведем дроби к общему знаменателю. Получаем:

Теперь сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями. Получаем:

3. Записать в виде двойного неравенства:  6 < 12  и  12 < 15.

Решение.  6 < 12 < 15. Читают: двенадцать больше шести и меньше пятнадцати.

4. Выписать все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:

— 4 ≤ х < 3. Решение: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2.

5. Задания для самостоятельного решения.

5.1 Сравните с нулем разность чисел а и b, если

а) a<b;  б) a>b; в) a=b.

5.2. Сравните данные числа.

а) -2,467 и -2,476; б) 8,98 и 8,899;

5.3. Выписать все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:

а) -5 ≤ х < 1; б) -3 < x ≤ 3; в) 4 < x < 9;  г) -8 ≤ x ≤ -4.

Ответы.

5.1.а.   a-b<0;

5.1.б.   a-b>0;

5.1.в.   a-b=0.

5.2.а.   -2,467 > -2,476;

5.2.б.   8,98 > 8,899;

5.3.а    -5; -4; -3; -2; -1; 0;

5.3.б.   -2; -1; 0; 1; 2; 3;

5.3.в.    5; 6; 7; 8;

5.3.г.    -8; -7; -6; -5; -4.

6.5.1. Линейное уравнение с одной переменной

  •  Равенство с переменной называют уравнением.
  •  Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
  • Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
  • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
  •  Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
  •  Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Примеры.  Решить уравнение.

1. 1,5х+4 = 0,3х-2.

1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:

чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Ответ: 5.

2. 3(2х-9) = 4(х-4).

6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) c = a c-b c.

6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

х = 5,5.

Ответ: 5,5.

3. 7х- (3+2х)=х-9.

7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

х = -1,5.

Ответ: -1,5.

3 (х-5) = 7 12 — 4 (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.

3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) c = a c-b c.

3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 143 : 11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

х = 13.

Ответ: 13.

5. Решить самостоятельно уравнения:

а) 3-2,6х = 5х+1,48;

б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);

в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);

Ответы.

5а) 0,2; 5б) 2,5; 5в) 2; 5г) -1.

 

6.4.2. Раскрытие скобок. Приведение подобных слагаемых

1. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или не стоит никакого знака.

Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то убираем скобки, знак «+» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, без изменений.

Примеры. Раскрыть скобки.

1а) (-3х+4) = -3х+4;

1б) (2a-3b)+(-c-d) = 2a-3b-c-d;

1в) 7x+(-a-2b+5c-k) = 7x-a-2b+5c-k.

2. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-».

Если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

Примеры. Раскрыть скобки.

2а) — (4х-5) = -4х+5;

2б)  - (-2a+c) — (b-3d) = 2a-c-b+3d;

2в)  - (4k-m) — (-a+2b) = -4k+m+a-2b.

3. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми. Примеры подобных слагаемых: 5а и -а; 2с и -12с.

Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом. Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1).

Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

Примеры. Привести подобные слагаемые.

3а) 2а-7а+9а-6а = (2-7+9-6)а = -2а;

3б) -4m+6m-3m+4m = (-4+6-3+4) m = 3m;

3в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с.

4. В алгебраическом выражении могут быть различного вида подобные слагаемые. В этом случае подобные слагаемые подчеркиваются одинаковыми линиями.

Примеры. Привести подобные слагаемые.

4а) -4а+5с-11с-20а = (-4-20)а+(5-11)с = -24а-6с;

4б) 3,2х+5,6у-8х-3у = (3,2-8)х+(5,6-3)у = -4,8х+2,6у;

4в) 8m-3k+7m-2k+12k+13m = (8+7+13) m+(-3-2+12) k = 28m+7k.

5. Для преобразования алгебраических выражений с помощью раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: чтобы сумму чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на третье число и сложить результаты.

Примеры. Раскрыть скобки.

5а) 2 (4х-5у) = 2 4х+2 (-5) = 8х-10у;

5б) -3 (4а+7с) = -3 4а-3 7с = -12а-21с;

5в) -6 (-а+4с) = -6 (-а) -6 4с = 6а-24с.

6. Упростить алгебраическое выражение – это значит раскрыть скобки, выполнить указанные действия, привести подобные слагаемые.

Примеры. Упростить выражение.

6а) (3х+у) -2 (5х-у) = -10х+2у = -7х+3у;

6б) 3х(а+1,5) -4ах = 3ах+4,5х-4ах = 4,5х-ах;

6в) -6 (х+у)+3 (2х-у) = -6х-6у+6х-3у = -9у.

7. Примеры для самостоятельного решения. Упростить:

7а) 4 (5-3а) — (11-а);

7б) 2 (3х-у) -6 (5х+3у);

7в) -2а(3с+4)+6ас;

7г) 5 (а-2с+1) -4 (-3+3с-а);

7д) –х(2у+7)+7 (х-4ху).

Ответы.

7а) 9-11а;

7б) -24х-20у;

7в) -8а;

7г) 9а-22с+17;

7д) -30ху.

ЕГЭ-2016. Задача №18 на параметры с решениями

Задача №18 из сборника ФИПИ под редакцией И.В. Ященко профильного уровня не зря считается одной из самых трудных задач ЕГЭ. На самом деле, ведь на школьных уроках решению задач с параметрами отводится символическое количество часов, за которое учащимся просто невозможно уразуметь все сложности и «подводные рифы» этих задач. Легко решают задачи с параметрами только те учащиеся, которые пытаются разобраться в теме самостоятельно,  пусть и с помощью чужих разработок и пособий. Вот для этих пытливых умов я и предлагаю мой решебник  в формате pdf. Подробные объяснения задачи №18 в 36 вариантах и красочные иллюстрации к ним помогут, если не всем, то очень многим научиться решать задачи с параметрами.  Сборник будет полезен и тем, кому предстоит сдавать ЕГЭ через год-два, так как не секрет, что задачи по темам «крутятся» в вариантах ЕГЭ годами. В добрый час!

Как получить пособие.

Информация для родителей. Если Вы оплачиваете с помощью платежной карточки (если у Вас нет Яндекс кошелька), то сразу после проверки оплаты (от получаса до нескольких часов), на указанный Вами e-mail, Вы получите письмо со ссылкой на скачивание книги. Не волнуйтесь насчет безопасности перевода денег: Вы под надежной защитой Яндекса!
P.S. Если Вы производите оплату со счёта мобильного телефона, то напишите мне об этом в письме по адресу: at@mathematics-repetition.com или в комментарии к платежу укажите свои имя и e-mail. Удачи!

Решение задачи 17 в 36 вариантах ЕГЭ-2016

Задача №17 из сборника ФИПИ под редакцией И.В. Ященко профильного уровня не понравилась многим выпускникам.

Это и понятно: не было таких задач в школьном курсе математики. На самом деле, кредиты, займы, банковские счета, добыча металлов, выгодное распределение полей фермерами, доходы предпринимателей... .

В моём решебнике доступно и понятно приводится решение всех 36 задач сборника.

Для самостоятельного решения предлагаю 15 задач и ответы к ним. Сборник будет полезен и тем, кому предстоит сдавать ЕГЭ через год-два, так как не секрет, что задачи по темам «крутятся» в вариантах ЕГЭ годами.

Как получить пособие.

Информация для родителей. Если Вы оплачиваете с помощью платежной карточки (если у Вас нет Яндекс кошелька), то сразу после проверки оплаты (от получаса до нескольких часов), на указанный Вами e-mail, Вы получите письмо со ссылкой на скачивание книги. Не волнуйтесь насчет безопасности перевода денег: Вы под надежной защитой Яндекса!

P.S. Если Вы оплачиваете со счёта мобильного телефона, то комментарий обязателен! Назовите своё имя и укажите Ваш e-mail.   А ещё лучше: напишите мне о факте оплаты на почту at@mathematics-repetition.com В ответном письме я пришлю Вам книгу.

C этой книгой покупают решебник задачи № 16 в 36 вариантах из сборника заданий ЕГЭ-2015 ФИПИ. Подробнее посмотрите здесь.

Получите «Справочник по геометрии 7-9»

Вы перешли на эту страницу, чтобы получить составленный мною «Справочник по геометрии 7-9». В нём 415 пунктов (определения, теоремы и формулы с рисунками) на 48 страницах формата А4. По ссылке вы попадёте на мой ЯндексДиск, где вам будет предложено скачать (посмотреть) мой «Справочник по геометрии 7-9». Если вы распечатаете Справочник в виде книжки по 2 страницы на каждой стороне листа А4, то получится весьма компактная и удобная вещица, которая поможет вам в учёбе, в подготовке к ОГЭ или ЕГЭ. Желаю вам успехов!

Не секрет, что при подготовке по математике к ОГЭ учащиеся испытывают бОльшие затруднения при решении задач модуля «Геометрия», причём не только второй части, но даже и при выполнении заданий первой части. Безусловно, чтобы чувствовать себя увереннее необходимо повторить ВЕСЬ теоретический материал геометрии 7-9. «Справочник по геометрии 7-9», несомненно, отлично вам в этом поможет, вот только в оставшееся до экзаменов время не у каждого получится «объять необъятное», ведь надо готовиться к экзамену не только по математике…

А хорошо бы знать, какие именно пункты справочника будут нужны, чтобы гарантированно решить предложенные на ОГЭ-2016 геометрические задания! Возможно ли это? Да, если вы будете активно участвовать в ТРЕНИНГЕ «Подготовка к ОГЭ-2016 по геометрии». Подробнее здесь.

О тренинге «Подготовка к ОГЭ-2016 по геометрии»

Дорогие друзья! Тренинг продлится до самых экзаменов, и у вас тем больше будет необходимых в выполнении заданий модуля «Геометрия» умений и навыков, чем раньше вы получите эту информацию.

         После оплаты тренинга (2000 рублей за всё время!) вы будете получать на свою электронную почту материалы с объяснениями (видео и pdf файлы) и заданиями по каждой из девяти задач ОГЭ-2016 ( 5 задач I части 1 задачи модуля «Реальная математика» и 3 задачи II части) модуля «Геометрия». Фактически задач, конечно, больше девяти видов, ведь задачи под одним и тем же номером в предлагаемых вариантах ОГЭ различаются по темам теоретического материала геометрии 7-9, и мы постараемся все их рассмотреть. К каждому виду задач вы будете получать список пунктов «Справочника по геометрии 7-9», которые вам необходимо будет заучить (повторить). Сам справочник скачать можно по этой ссылке.

От вас тоже потребуется  отдача, а как же иначе, но об этом вы узнаете во время тренинга.

Итак, что же необходимо для участия в тренинге?

Первое, и самое главное, – это ВАШЕ (а не только ваших родителей) искреннее желание его пройти и, тем самым как следует подготовиться к экзамену.

Второе – оплатить тренинг. Так как при оплате вам нужно будет назвать своё имя и указать ваш электронный почтовый ящик, то ваше участие в тренинге будет сразу зафиксировано, и мы начнём работать. В ходе тренинга  вы сможете выполнить ВСЕ задания (36 вариантов) по геометрии из  сборника ОГЭ-2016 ФИПИ.

Помните:  дорогу осилит идущий!
P.S. Приобретение сборника ОГЭ-2016 (36 вариантов) ФИПИ желательно, но необязательно.

Перевод денег осуществляет сервис ЯндексДеньги, репутация которого безупречна.

 

Как научиться решать задачи на проценты

          Задачи на проценты приходится решать всем учащимся с 5-го по 11 класс (а также их родителям!) не только в классе и дома, но и на экзаменах: переводных, ОГЭ и ЕГЭ. Научиться решать такие задачи вам поможет моя книга, которая так и называется: «Как решать задачи на проценты». Книга содержит теоретический материал по теме: «Проценты»,  более 100 задач с подробными решениями, а также 16 видео решений различных задач по данной теме. Вы можете приобрести книгу в одном из представленный форматов:

1) Книга «Как решать задачи на проценты» в обычном электронном pdf файле. Она стоит 200 рублей. Оплатить можно с помощью формы ниже. Оплата проводится самим сервисом Яндекс.Деньги, поэтому перевод денег  осуществляется строго конфиденциально! После проверки получения денег я высылаю вам книгу на указанный вами электронный адрес. К книге отдельным файлом высылается памятка по решению задач на проценты.

2) Книга «Как решать задачи на проценты» в 3d формате. Что это за книга вы можете посмотреть в видео на этой странице ниже. Эта книга стоила 600 рублей, но теперь цена понижена в 2 раза потому что оказалось недоступным приложение к книге в виде тестов (тесты находились на иностранном сайте) — жаль, конечно, но все задачи, их решения и видео на месте, а это главное! Оплату проводит сервис Яндекс.Деньги — самый надежный и порядочный в мире. В форме оплаты вы введете свой электронный адрес, на который я и пришлю вам ссылку на скачивание книги и инструкцию. Также отдельно я пришлю вам памятку по решению задач на проценты.

 

Если вы хотите научиться решать задачи на проценты, то полезной будет эта книга: смотрите видео ниже.

  Дорогие учащиеся, вы можете оплатить книгу и сами  через уличный терминал.

Далее: ВНИМАНИЕ! Со своего компьютера отправляете мне письмо на адрес: at@mathematics-repetition.com с какими-нибудь подробностями платежа из чека. Не забудьте написать свое имя и какую именно книгу вы оплатили. После проверки поступления денег я пришлю вам книгу в письме.

С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко —  автор сайта, на котором Вы находитесь.

6.9.3. Решение систем линейных уравнений методом сложения.

Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо:

1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;

2) сложить почленно полученные уравнения и найти значение одной из переменных;

3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.

Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2).

Примеры. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения.

Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24.  Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы.

 

Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.

 

Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5.

Сделаем проверку. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений.

Примечание. Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.

 

Ответ: (3; -5).

 

Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:

Сложим эти равенства почленно.

Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами):

Находим у из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.

 

Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2.

Ответ: (-2; 1).

Сделаем коэффициенты при переменной у противоположными числами. Для этого все члены 1-го уравнения умножим на 5, а все члены 2-го уравнения на 2.

Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.

· 4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3.

Ответ: (4; -3).

6.9.2. Решение систем линейных уравнений методом подстановки

Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки поступаем следующим образом:

1) выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы (х через у или у через х);

2) подставляем полученное выражение в другое уравнение системы и получаем линейное уравнение с одной переменной;

3) решаем полученное линейное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной;

4) найденное значение переменной подставляем в выражение (1) для другой переменной и находим значение этой переменной.

Примеры. Решить методом подстановки систему линейных уравнений.

Выразим х через у из 1-го уравнения. Получим: х=7+у. Подставим выражение (7+у) вместо х во 2-ое уравнение системы.

Мы получили уравнение: 3·(7+у)+2у=16. Это уравнение с одной переменной у. Решаем его. Раскроем скобки: 21+3у+2у=16. Собираем слагаемые с переменной у в левой части, а свободные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую меняем знак слагаемого на противоположный.

Получаем: 3у+2у=16-21. Приводим подобные слагаемые в каждой части равенства. 5у=-5. Делим обе части равенства на коэффициент при переменной. у=-5:5; у=-1. Подставляем это значение у в выражение х=7+у и находим х. Получаем: х=7-1; х=6. Пара значений переменных х=6 и у=-1 является решением данной системы.

Записывают: (6; -1). Ответ: (6; -1). Эти рассуждения удобно записывать так, как показано ниже, т.е. системы уравнений — слева друг под другом. Справа — выкладки, необходимые пояснения, проверка решения и пр.

 

Страница 1 из 1512345...10...Последняя »
Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх