7 класс. Алгебра
 
математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.
Рубрика "7 класс. Алгебра"

7.2.3. Действия с одночленами и многочленами

I. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример 1.  Умножить одночлен на многочлен: 2a·(4a2-0,5ab+5a3).

Решение. Одночлен будем умножать на каждый одночлен многочлена:

2a·(4a2-0,5ab+5a3)=2a∙4a2+2a∙(-0,5ab)+2a∙5a3=8a3-a2b+10a4. Запишем полученный многочлен в стандартном виде:

10a4+8a3-a2b.

Пример 2. Умножить многочлен на одночлен: (3xyz5-4,5x2y+6xy3+2,5y2z)∙(-0,4x3).

Решение. Каждое слагаемое, стоящее в скобках, умножаем на одночлен (-0,4x3).

(3xyz5-4,5x2y+6xy3+2,5y2z)∙(-0,4x3)=

=3xyz5∙(-0,4x3) -4,5x2y∙(-0,4x3)+6xy3∙(-0,4x3)+2,5y2z∙(-0,4x3)=

=-1,2x4yz5+1,8x5y-2,4x4y3-x3y2z.

II. Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.


 III. Вынесение общего множителя за скобки – простейший способ разложения многочлена на множители.

Пример 3. Разложить на множители многочлен:  5a3+25ab-30a2.

Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен , потому что на делится каждый из членов данного многочлена. Итак,  мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на .

5a3+25ab-30a2=5a·(a2+5b-6a). Проверяем себя: если мы умножим на многочлен в скобках a2+5b-6a, то получим данный многочлен 5a3+25ab-30a2.

Пример 4.Вынесите общий множитель за скобки: (x+2y)2-4·(x+2y).

Решение. (x+2y)2-4·(x+2y)=(x+2y)(x+2y-4).

Общим множителем здесь являлся двучлен (х+2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x+2y)и -4·(x+2y) на их общий делитель

(х+2у). В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x+2y) и (x+2y-4), другими словами, мы разложили многочлен (x+2y)2-4·(x+2y) на множители. Ответ:  (x+2y)(x+2y-4).

IV. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.

Пример 5. Выполнить умножение многочленов: (4x2-6xy+9y2)(2x+3y).

Решение. По правилу мы должны каждый член первого многочлена (4x2-6xy+9y2) умножить на каждый член второго многочлена (2x+3y). Чтобы не запутаться, делайте всегда так: сначала умножьте каждый член первого многочлена на 2х, потом опять каждый член первого многочлена умножайте на 3у.

(4x2-6xy+9y2)(2x+3y)=4x22x-6xy∙2x+9y22x+4x23y-6xy∙3y+9y23y=

=8x3-12x2y+18xy2+12x2y-18xy2+27y3=8x3+27y3.

Подобные слагаемые -12x2y и 12x2y, а также 18xy2 и -18xy2 оказались противоположными, их суммы равны нулю.

Ответ: 8x3+27y3.

 

7.2.2.Многочлен

I.  Сумма одночленов называется многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена.

Например, многочлен 2a+3a2b-6b4+3,5a3b состоит из суммы четырех одночленов.

II.  Двучлен – это многочлен, состоящий из двух членов (одночленов).

Примеры двучленов: 2a-3b; 6x2+5; 2x-1.

III. Трехчлен – это многочлен, состоящий из трех членов (одночленов).

Например,  2а+3с-х или x2+4x-5 — трехчлены, так как состоят из трех одночленов.

IV. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, многочлен 2a2-3b+abc-d2 имеет третью степень, так как наибольшей степенью входящих в него одночленов является третья степень одночлена abc (складываем показатели: 1+1+1=3).

Многочлен 4x4yz+2x2y3-xz4+3x2y2 имеет шестую степень, так как наибольшей (шестой) степенью является степень его члена 4x4yz (складываем показатели: 4+1+1=6).

V. Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.

Например, приведенный выше многочлен 4x4yz+2x2y3-xz4+3x2yявляется многочленом стандартного вида, так как записан в порядке убывания степеней его членов.

Пример 1. Упростить многочлен, записав каждый его член в стандартном виде: 4aabb∙(-0,5c2)+5a2bb3-6abcab2c.

Решение.

4aabb∙(-0,5c2)+5a2bb3-6abcab2c=-2a2b2c2+5a2b4-6a2b3c2, а теперь запишем этот многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней его членов):

-6a2b3c2-2a2b2c2+5a2b4.

Пример 2. Вычислить значение многочлена 5y2-3xy+x2 при x=-1, y=2.

Решение.

5y2-3xy+x2=5∙22-3∙(-1)∙2+(-1)2=5∙4+6+1=27.

Пример 3. Упростить многочлен 2aba-a3bb+7bbbb и найти его числовое значение при a=3, b=2.

Решение.

Упрощаем многочлен: 2aba-a3bb+7bbbb=2a2b-a3b2+7b4.

Подставляем значения a и b.

2a2b-a3b2+7b4=2∙32∙2-33∙22+7∙24=2∙9∙2-27∙4+7∙16=36-108+112=40.

Пример 4. Привести подобные члены многочлена:

Пример 5. Привести к стандартному виду многочлен:

Напоминание: подобными считают одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.

7.2.1. Одночлен.

 I. Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.

Примеры одночленов: 

а) a; б) ab; в) 12; г) -3c; д) 2a2∙(-3,5b)3; е) -123,45xy5z; ж) 8ac∙2,5a2∙(-3c3).

II. Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена.

Так, одночлены, приведенные выше, под буквами а), б), в), г)  и е) записаны в стандартном виде, а одночлены под буквами д) и ж) требуется привести к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда на первом месте стоит числовой множитель, а за ним записывают буквенные множители с их показателями, причем, буквенные множители стоят в алфавитном порядке. Приведем одночлены д) и ж) к стандартному виду.

д) 2a2∙(-3,5b)3=2a2∙(-3,5)3∙b3=-2a2∙3,5∙3,5∙3,5∙b3=-85,75a2b3;

ж) 8ac∙2,5a2∙(-3c3)=-8∙2,5∙3a3c3=-60a3c3.

III. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.

Примеры. Какую степень имеют одночлены а) — ж)?

а) a.  Первую;

б) ab. Вторую: а в первой степени и b в первой степени-сумма показателей 1+1=2;

в) 12. Нулевую, так как буквенных множителей нет;

г) -3c. Первую;

д) -85,75a2b3. Пятую. Мы привели этот одночлен к стандартному виду, имеем а во второй степени и b в третьей. Складываем показатели: 2+3=5;

е)  -123,45xy5z. Седьмую. Сложили показатели степеней буквенных множителей: 1+5+1=7;

ж) -60a3c3. Шестую, так как сумма показателей буквенных множителей 3+3=6.

IV.  Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.

Пример. Указать подобные одночлены среди данных одночленов 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4,1a3bc; 3) 56a2b2c; 4) 98,7a2bac; 5) 10aaa2x; 6) -2,3a4x; 7) 34x2y.

Приведем одночлены 1), 4) и 5) к стандартному виду. Тогда строчка данных одночленов будет выглядеть так:

1) 3a2b2c; 2) -4,1a3bc; 3) 56a2b2c; 4) 98,7a3bc; 5) 10a4x;  6) -2,3a4x; 7) 34x2y.

Подобными будут те, которые имеют одинаковую буквенную часть, т.е. 1) и 3); 2) и 4); 5) и 6).

1) 3a2b2c и 3) 56a2b2c;

2) -4,1a3bc и 4) 98,7a3bc;

5) 10a4x и  6) -2,3a4x.

 

7.1.2. Стандартный вид числа

Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a∙10n, где 1≤а<10 и n  (натуральное или целое) – есть порядок числа, записанного в стандартном виде.

Например, 345,7=3,457∙102; 123456=1,23456∙105; 0,000345=3,45∙10-4.

Примеры. 

Записать в стандартном виде число: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

Решение.

1) 40503=4,0503·104;

2) 0,0023=2,3∙10-3;

3) 876,1=8,761∙102;

4) 0,0000067=6,7∙10-6.

Еще примеры на стандартный вид числа.

5) Число молекул газа в 1 см3 при 0°С и давлении 760 мм.рс.ст равно

27 000 000 000 000 000 000. Записать это число в стандартном виде.

Решение.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙1019.

6) 1 парсек (единица длины в астрономии) равен 30 800 000 000 000 км. Записать это число в стандартном виде.

Решение.

1 парсек=30 800 000 000 000=3,08∙1013 км.

В тему:

Киловатт-час — это внесистемная единица энергии или работы, применяется в электротехнике, обозначается кВт·ч.

1 кВт·ч=3,6∙106 Дж (Джоулей).

 

7.1.1. Степень с целым показателем

 I. Определение.  (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

Примеры. Вычислить:

Решение.

II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:

Примеры. Вычислить:

Решение.

 Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для  степеней с любым показателем.

Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.

Примеры на все свойства степени.

Упростить:

Решение.

       При решении 7) примера  I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n  и am:an=am-nПри решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем:  и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n .

 

Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.

 

 

 

В примере 9) представим 73 как 72∙7, а степень 45 как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).

 

В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=anbn, а затем сократим дробь на (26∙35).

                 

7.1. Степень с натуральным показателем

I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается аn.

Примеры. Записать произведение в виде степени.

1) mmmm;          2) aaabb;         3) 5·5·5·5·ccc;        4) ppkk+pppk-ppkkk.

Решение.

1) mmmm=m4, так как, по определению степени, произведение четырех сомножителей, каждый из которых равен m, будет четвертой степенью числа m.

  2) aaabb=a3b2;    3) 5·5·5·5·ccc=54c3;     4) ppkk+pppk-ppkkk=p2k2+p3k-p2k3.

II. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, аn – степень, а – основание степени, n – показатель степени. Например:

 23 — это степень. Число 2 — основание степени, показатель степени равен 3. Значение степени 23 равно 8, так как 23=2·2·2=8.

Примеры. Написать следующие выражения без показателя степени.

5) 43;       6) a3b2c3;       7) a3-b3;       8 ) 2a4+3b2.

Решение.

5) 43=4·4·4;       6) a3b2c3=aaabbccc;       7) a3-b3=aaa-bbb;       8) 2a4+3b2=2aaaa+3bb.

 III. а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Например, 250=1. 
 IV. а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе. 

 V. aman=am+n   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

Примеры. Упростить:

9) a·a3·a7;             10) b0+b2·b3;             11) c2·c0·c·c4.

Решение.

9) a·a3·a7=a1+3+7=a11;           10) b0+b2·b3=1+b2+3=1+b5;             

11) c2·c0·c·c4=1·c2·c·c4=c2+1+4=c7.

VI.  am:an=am—  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Примеры. Упростить:

12) a8:a3;       13) m11:m4;         14) 56:54.

12) a8:a3=a8-3=a5;       13) m11:m4=m11-4=m7;         14) 56:54=52=5·5=25.

VII. (am)n=amn   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Примеры. Упростить:

15) (a3)4;         16) (c5)2.

15) (a3)4=a3·4=a12;         16) (c5)2=c5·2=c10.

Обратите внимание, что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то:

15) (a3)4=(a4)3;         16) (c5)2=(c2)5.

 VIII. (a∙b)n=an∙bn   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

Примеры. Упростить:

17) (2a2)5;      18) 0,26·56;        19) 0,252·402.

Решение.

17) (2a2)5=25·a2·5=32a10;      18) 0,26·56=(0,2·5)6=16=1;

19) 0,252·402=(0,25·40)2=102=100.


       
IX. При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

Примеры. Упростить:

Решение.

 

7.2.6. Кубическая функция

Функцию вида y=x3 называют кубической функцией. Графиком кубической функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат. Ветви кубической параболы y=x3 находятся в I и III четвертях.

Построение графика кубической функции y=x3

Составим таблицу значений функции y=x3 для х=0, х=±1, х=±2.

   x     |    y=x3

   0    |    0³=0            Точка О(0; 0)

   1    |    1³=1            Точка А(1; 1)

  -1    | (-1)³=-1          Точка С(-1; -1)

    2   |   2³=8             Точка В(2; 8 )

  -2   | (-2)³=-8           Точка D(-2; -8)

7.2.5. Квадратная функция

Функцию вида y=x2 называют квадратной функцией. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат. Ветви параболы y=x2 направлены вверх.

Построение графика функции y=x2. Составим таблицу значений функции для х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

х    |   y=x² 

0    |  0²=0  

1    |  1²=1              Точка А(1; 1)

-1   | (-1)²=1           Точка А1(-1; 1)

2    |   2²=4             Точка В(2; 4)

-2   | (-2)²=4           Точка В1(-2; 4)

3    |  3²=9              Точка С(3; 9)

-3   | (-3)²=9           Точка С1(-3; 9)

7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения



style="display:inline-block;width:336px;height:280px"
data-ad-client="ca-pub-8602906481123293"
data-ad-slot="2890988705">



1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)2 = a2+2ab+b

  a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)2 = a2-2ab+b2

 а)   (2ac)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2

б)   (3a5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a2–b2 = (a–b)(a+b)

a)      9x216y2 = (3x)2(4y)2 = (3x4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

а)  (2xy)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

б)  (x3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

а) 64с38 = ()323 = (2)(()2 + ·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

Страница 1 из 11
Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх