9 класс. Алгебра
 
математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.
Рубрика "9 класс. Алгебра"

9.3.3. Определение арифметической прогрессии. Примеры

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {an}, т. е. в арифметической прогрессии с членами:  a1, a2, a3, a4, a5, …, an-1, an, …   по определению:

a2=a1+d;

a3=a2+d;

a4=a3+d;

a5=a4+d;

..............…

an=an-1+d; …

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предшествующим ему членом равна некоторому числу d, которое является постоянным для данной последовательности чисел, и называется разностью арифметической прогрессии. Итак, справедливы равенства:

a2-a1=d;

a3-a2=d;

a4-a3=d;

……….

an+1-an=d.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член aи разность d.

Пример 1. Написать первые пять членов арифметической прогрессии, зная первый член aи разность d.

а) a1=2, d=3.

Решение.  По условию разность арифметической прогрессии  d=3. Это означает, что для получения каждого следующего члена нужно прибавлять число 3 к предыдущему члену.

a2=a1+d=2+3=5;

a3=a2+d=5+3=8;

a4=a3+d=8+3=11;

a5=a4+d=11+3=14. Ответ: 2; 5; 8; 11; 14; ...

б) a1=-7, d=2.

Решение. 

a2=a1+d=-7+2=-5;

a3=a2+d=-5+2=-3;

a4=a3+d=-3+2=-1;

a5=a4+d=-1+2=1. Ответ: -7; -5; -3; -1; 1; ...

в) a1=-10, d=-2.

Решение.

a2=a1+d=-10-2=-12;

a3=a2+d=-12-2=-14;

a4=a3+d=-14-2=-16;

a5=a4+d=-16-2=-18. Ответ: -10; -12; -14; -16; -18; ...

Пример 2. Известны два члена арифметической прогрессии {an}. Требуется найти первый член aи разность d.

а) a2=7, a3=-3.

Решение. По определению арифметической прогрессии можно найти ее разность:

d=a3-a2=-3-7=-10. Тогда a1=a2-d=7- (-10)=7+10=17. Ответ: a1=17, d=-10.

б) a3=-12, a4=-16.

Решение. d=a4-a3=-16- (-12)=-16+12=-4; отсюда a2=a3-d=-12- (-4)=-12+4=-8;

a1=a2-d=-8- (-4)=-8+4=-4. Ответ: a1=-4, d=-4.

в) a2=-4, a4=6.

Решение. Так как a4=a3+d; а в свою очередь a3=a2+d, то можно записать:

a4=a2+d+d; a4=a2+2d ⇒ 2d=a4- a2=6- (-4)=6+4=10 ⇒ d=10:2=5.

Тогда a1=a2-d=-4-5=-9. Ответ: a1=-9, d=5.

9.3.1. Числовая последовательность

Функция an=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.

Числа a1; a2; a3; a4;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a1=f (1); a2=f (2); a3=f (3); a4=f (4);…

Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов:  a1; a2; a3; a4;…, следовательно, a— первый член последовательности;

a2 - второй член последовательности;

a3 - третий член последовательности;

a4 - четвертый член последовательности и т.д.

Кратко числовую последовательность записывают так: an=f (n) или {an}.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1. Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.

Решение. Замечаем, что 1=12; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; … Делаем вывод:  дана последовательность, состоящая из квадратов  чисел натурального ряда.

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: an=f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: ak = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

Решение.

a1=3+2∙(1+1)=3+4=7;

a2=3+2∙(2+1)=3+6=9;

a3=3+2∙(3+1)=3+8=11;

a4=3+2∙(4+1)=3+10=13.

Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности:  1; 3; 5; 7; 9; ... .

Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где  k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: ak=2k-1.

3) Рекуррентный способ.  Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {an},

если a1=7; an+1 = 5+an.

Решение.

a2 =5+a1=5+7=12;

a3 =5+a2=5+12=17;

a4 =5+a3=5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .

Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {bn},

если b1 = -2, b2 = 3; bn+2 = 2bn +bn+1.

Решение.

b3 = 2∙b1 + b2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b4 = 2∙b2 + b3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b5 = 2∙b3 + b4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a1; a2; a3; a4;… .

Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Решение.

Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; an). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n.

Получаем: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).

Следовательно, a1= -3; a2=1; a3=4; a4=6; a5 =7.

Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей, если ее члены возрастают (an+1>an) и убывающей, если ее члены убывают (an+1<an).

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными.

Пройти тест по этой теме можно здесь.

 

9.3.2. Арифметическая прогрессия. Теория

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Так, числовая последовательность а1;  а2;  а3;  а4;  а5; … аn будет являться арифметической  прогрессией, если а2 = а1 + d;

а3 = а2 + d;

a4 = a3 + d;

a5 = a4 + d;

………….

an = an-1 + d

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом аn. Записывают: дана арифметическая  прогрессия {an}.

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a1 и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1.    1; 3; 5; 7; 9;…      Здесь а1 = 1; d = 2.

Пример 2.   8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь а1 = 8; d =-3.

Пример 3.   -16; -12; -8; -4;…    Здесь а1 = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5):2  ;  т.е. а2 = (а13):2;  третий член   5 =(3+7):2;

т. е. а3 = (а24):2.

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся  примеру 2.  Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и  седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а2 = а1 + d;

a3 = a2 + d = a1 + 2d;

a4 = a3 + d = a1 + 3d;

…………………….

an = an-1 + d = a1 + (n-1) d.

Полученную формулу an = a1 + (n-1)d               (***)

называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

Sn = a1 + a2 + a3  + a4 + … + an-3 + an-2 + an-1+ an                    и

Sn = an + an-1 + an-2 + an-3 + …...+ a4 + a3 + a2 + a1

Сложим почленно эти два равенства:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + …

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2Sn = n· (a1 + an).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                         (****)

Если заменим аn  значением а1 + (n-1) d    по формуле  (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                (*****)

Страница 1 из 11
Скайп-репетитор
ЕНТ в картинках
Instagram
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Instagram
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх