геометрический смысл производной | математика-повторение
 
математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.
Записи с меткой "геометрический смысл производной"

10.3.1. Уравнение касательной

Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х0.  Для наглядности используем график из предыдущего урока 10.3. («Определение производной. Геометрический смысл производной») и выведем уравнение касательной МТ.

Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х0.

Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f '(х0) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х0. Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.

Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f '(х0)·x+b. Осталось определить значение b. Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т.е. вместо х запишем х0, а вместо у подставим f (х0). Получаем равенство:

f (х0) =f '(х0)·х0+b.

Отсюда b=f (х0)f '(х0)·х0. Подставляем это значение b в равенство:  y=f '(х0)·x+b. Тогда:

y =f '(х0)·х+f (х0) - f '(х0)·х0. Упростим.

y=f (х0)+(f '(х0)·х f '(х0)·х0)  или 

 y=f (х0)+f '(х0)(х х0).  Это и есть искомое уравнение касательной МТ.

Смотрите видео 10.3.1. Уравнение касательной.

Выполнить следующие задания.

1. Написать уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке x0=3. Сделать чертеж.

Решение.

Запишем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой x0 в общем виде:

y=f (x0) +f '(x0)(x-x0).

Находим значение данной функции в точке с данной абсциссой:

f (x0)=f (3)=32=9.

Находим производную f '(x)=(x2)'=2x и находим значение этой производной при х=3.

Тогда f '(x0)=f '(3)=2·3=6.

Подставим найденные значения

f (x0)=9 и f '(x0)=6 в уравнение касательной, получим:

y=9+6·(x-3);

y=9+6x-18;

y=6x-9 — искомое уравнение касательной.

Ответ: y=6x-9.

2. Написать уравнение касательной к графику функции

Решение.

Записываем общее уравнение касательной: y=f (x0) +f '(x0)(x-x0). Находим значение данной функции в точке х=1, получаем:

f (x0)=f (1) = 1. Найдем производную данной функции по формуле производной степени:

f '(x)=(x-2)=-2x-2-1=-2x-3.

Находим значение этой производной при х=1.

f '(x0)=f (1)=-2·(1)-3 =-2. Подставляем найденные значения в общее уравнение касательной:

y=1-2(x-1);

y=1-2x+2;

y=-2x+3 - искомое уравнение касательной.

Ответ: y=-2x+3.               

10.3. Производная и ее геометрический смысл

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

Δy=f (х0+Δх) — f (x0).  Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x2, если начальное значение аргумента было равно 4, а новое  -4,01.

Решение.

Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) - f (x0).  Так как у нас функция y=x2,  то Δу=(х0+Δx)2— (х0)2=(х0)2+2x· Δx+(Δx)2— (х0)2=2x· Δx+(Δx)2=

=2 · · 0,01+(0,01)2=0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f '(х0) = 1.

Решение.

Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х0) = tgα = 1  → α = 45°,   так как  tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.

3. Вывести формулу производной функции y=xn.

Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же,  как мы вывели формулу производной степени: (xn)' = nxn-1.

Вот эти формулы.     

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

 

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

 

Страница 1 из 11
Скайп-репетитор
Мои обучающие видео
Архивы
Репетиторство по математике
Наверх