7.2.2.Многочлен

    I.  Сумма одночленов называется многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена.

    Например, многочлен 2a+3a2b-6b4+3,5a3b состоит из суммы четырех одночленов.

    II.  Двучлен – это многочлен, состоящий из двух членов (одночленов).

    Примеры двучленов: 2a-3b; 6x2+5; 2x-1.

    III. Трехчлен – это многочлен, состоящий из трех членов (одночленов).

    Например,  2а+3с-х или x2+4x-5 — трехчлены, так как состоят из трех одночленов.

    IV. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

    Например, многочлен 2a2-3b+abc-d2 имеет третью степень, так как наибольшей степенью входящих в него одночленов является третья степень одночлена abc (складываем показатели: 1+1+1=3).

    Многочлен 4x4yz+2x2y3-xz4+3x2y2 имеет шестую степень, так как наибольшей (шестой) степенью является степень его члена 4x4yz (складываем показатели: 4+1+1=6).

    V. Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.

    Например, приведенный выше многочлен 4x4yz+2x2y3-xz4+3x2yявляется многочленом стандартного вида, так как записан в порядке убывания степеней его членов.

    Пример 1. Упростить многочлен, записав каждый его член в стандартном виде: 4aabb∙(-0,5c2)+5a2bb3-6abcab2c.

    Решение.

    4aabb∙(-0,5c2)+5a2bb3-6abcab2c=-2a2b2c2+5a2b4-6a2b3c2, а теперь запишем этот многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней его членов):

    -6a2b3c2-2a2b2c2+5a2b4.

    Пример 2. Вычислить значение многочлена 5y2-3xy+x2 при x=-1, y=2.

    Решение.

    5y2-3xy+x2=5∙22-3∙(-1)∙2+(-1)2=5∙4+6+1=27.

    Пример 3. Упростить многочлен 2aba-a3bb+7bbbb и найти его числовое значение при a=3, b=2.

    Решение.

    Упрощаем многочлен: 2aba-a3bb+7bbbb=2a2b-a3b2+7b4.

    Подставляем значения a и b.

    2a2b-a3b2+7b4=2∙32∙2-33∙22+7∙24=2∙9∙2-27∙4+7∙16=36-108+112=40.

    Пример 4. Привести подобные члены многочлена:

    Пример 5. Привести к стандартному виду многочлен:

    Напоминание: подобными считают одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.