8.1.3. Свойство углов и сторон параллелограмма

    Задача 1. Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма.


    Решение.

    ∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма.

    ∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма.

    ∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°.

    ∠D =∠B = 115° как противолежащие углы параллелограмма.

    Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.

    Задача 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма.

     Решение.

    Так как у параллелограмма имеется  2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°.

    ∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда  ∠C =∠A = 70°.

    Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.

    Задача 3. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найти углы параллелограмма.

    Решение.

    Пусть ∠А =х. Тогда ∠В = 3х. Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне равна 180°, составим уравнение.

    х + 3х = 180;

    4х = 180;

    х = 180 : 4;

    х = 45.

    Получаем: ∠А =х = 45°, а ∠В = 3х = 3 ∙ 45° = 135°.

    Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно,

    ∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

    Ответ: ∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

    Задача 4. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

     Доказательство.

    Проведем диагональ BD  и рассмотрим  Δ ADB и Δ CBD.

    AD = BC по условию. Сторона BD – общая.  ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие при параллельных (по условию) прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, Δ ADB = Δ CBD по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников).  В равных треугольниках соответственные углы равны, значит, ∠3 =∠4. А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Отсюда следует параллельность прямых AB и CD. Таким образом, в данном четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, по определению ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

    Задача 5. Две стороны параллелограмма относятся как 2 : 5, а периметр равен 3,5 м. Найти стороны параллелограмма.

    Решение.

    Периметр параллелограмма PABCD= 2 (AB + AD).

    Обозначим одну часть через х. тогда AB = 2x, AD = 5x метров. Зная, что периметр параллелограмма равен 3,5 м, составим уравнение:

    2 (2x + 5x) = 3,5;

    2 7x = 3,5;

    14x = 3,5;

    x = 3,5 : 14;

    x = 0,25.

    Одна часть составляет 0,25 м. Тогда AB = 2 0,25 = 0,5 м; AD = 5 0,25 = 1,25 м.

    Проверка.

    Периметр параллелограмма PABCD= 2 (AB + AD) = 2 (0,25 + 1,25) = 2 1,75 = 3,5 (м).

    Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.

    Ответ: CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.