9.3.2. Арифметическая прогрессия. Теория

    Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

    Так, числовая последовательность а1;  а2;  а3;  а4;  а5; … аn будет являться арифметической  прогрессией, если а2 = а1 + d;

    а3 = а2 + d;

    a4 = a3 + d;

    a5 = a4 + d;

    ………….

    an = an-1 + d

    Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом аn. Записывают: дана арифметическая  прогрессия {an}.

    Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a1 и разность d.

    Примеры арифметической прогрессии

    Пример 1.    1; 3; 5; 7; 9;…      Здесь а1 = 1; d = 2.

    Пример 2.   8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь а1 = 8; d =-3.

    Пример 3.   -16; -12; -8; -4;…    Здесь а1 = -16; d = 4.

    Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

    В 1 примере второй член 3 =(1+5):2  ;  т.е. а2 = (а13):2;  третий член   5 =(3+7):2;

    т. е. а3 = (а24):2.

    Значит, справедлива формула:

    Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

    Обратимся  примеру 2.  Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и  седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).

    По формуле (**) имеем:

    Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

    Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

    Вы уже догадались: а2 = а1 + d;

    a3 = a2 + d = a1 + 2d;

    a4 = a3 + d = a1 + 3d;

    …………………….

    an = an-1 + d = a1 + (n-1) d.

    Полученную формулу an = a1 + (n-1)d               (***)

    называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

    Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.

    От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

    Sn = a1 + a2 + a3  + a4 + … + an-3 + an-2 + an-1+ an                    и

    Sn = an + an-1 + an-2 + an-3 + …...+ a4 + a3 + a2 + a1

    Сложим почленно эти два равенства:

    2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + …

    Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2Sn = n· (a1 + an).

    Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                             (****)

    Если заменим аn  значением а1 + (n-1) d    по формуле  (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                    (*****)