9.3.3. Определение арифметической прогрессии. Примеры

    Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {an}, т. е. в арифметической прогрессии с членами:  a1, a2, a3, a4, a5, …, an-1, an, …   по определению:

    a2=a1+d;

    a3=a2+d;

    a4=a3+d;

    a5=a4+d;

    ..............…

    an=an-1+d; …

    Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предшествующим ему членом равна некоторому числу d, которое является постоянным для данной последовательности чисел, и называется разностью арифметической прогрессии. Итак, справедливы равенства:

    a2-a1=d;

    a3-a2=d;

    a4-a3=d;

    ……….

    an+1-an=d.

    Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член aи разность d.

    Пример 1. Написать первые пять членов арифметической прогрессии, зная первый член aи разность d.

    а) a1=2, d=3.

    Решение.  По условию разность арифметической прогрессии  d=3. Это означает, что для получения каждого следующего члена нужно прибавлять число 3 к предыдущему члену.

    a2=a1+d=2+3=5;

    a3=a2+d=5+3=8;

    a4=a3+d=8+3=11;

    a5=a4+d=11+3=14. Ответ: 2; 5; 8; 11; 14; ...

    б) a1=-7, d=2.

    Решение. 

    a2=a1+d=-7+2=-5;

    a3=a2+d=-5+2=-3;

    a4=a3+d=-3+2=-1;

    a5=a4+d=-1+2=1. Ответ: -7; -5; -3; -1; 1; ...

    в) a1=-10, d=-2.

    Решение.

    a2=a1+d=-10-2=-12;

    a3=a2+d=-12-2=-14;

    a4=a3+d=-14-2=-16;

    a5=a4+d=-16-2=-18. Ответ: -10; -12; -14; -16; -18; ...

    Пример 2. Известны два члена арифметической прогрессии {an}. Требуется найти первый член aи разность d.

    а) a2=7, a3=-3.

    Решение. По определению арифметической прогрессии можно найти ее разность:

    d=a3-a2=-3-7=-10. Тогда a1=a2-d=7- (-10)=7+10=17. Ответ: a1=17, d=-10.

    б) a3=-12, a4=-16.

    Решение. d=a4-a3=-16- (-12)=-16+12=-4; отсюда a2=a3-d=-12- (-4)=-12+4=-8;

    a1=a2-d=-8- (-4)=-8+4=-4. Ответ: a1=-4, d=-4.

    в) a2=-4, a4=6.

    Решение. Так как a4=a3+d; а в свою очередь a3=a2+d, то можно записать:

    a4=a2+d+d; a4=a2+2d ⇒ 2d=a4- a2=6- (-4)=6+4=10 ⇒ d=10:2=5.

    Тогда a1=a2-d=-4-5=-9. Ответ: a1=-9, d=5.