Блог - Part 10
 

математика-повторение

Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

Тест 5.4.2. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Математика. 5 класс.                  Тест 4. Вариант 2.

1. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти НОК знаменателей данных дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей и найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби:

2. Приведите к наименьшему общему знаменателю смешанные числа:

3. На координатном луче меньшая дробь изображается левее большей дроби, а большая дробь изображается ... меньшей дроби.

А) левее; В) впереди; С) сзади; D) сверху; Е) правее.

4. Запишите в порядке возрастания дроби:

5. Замените звездочку числом, чтобы получилось верное равенство.

     А) 10; В) 7; С) 2; D) 20; E) 25.

 

6. С помощью букв правило сложения двух дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:

7. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно: 1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) выполнить сложение полученных дробей по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Выполнить сложение дробей с разными знаменателями:

8. Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, нужно: 1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) выполнить действие вычитания полученных дробей по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.  Выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

9. Выполнить сложение:

10. Вычислить:

11. Вычислить:

12. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 7 см и 9 см.

А) 63 см²; В) 32 см;  С) 72 см²; D) 16 см; Е) 54 см².

Ответы к тестам Вы найдете на странице "Ответы".

Тест 5.3.2. Обыкновенные дроби

Математика. 5 класс.             Тест 3. Вариант 2.

1. Диаметр окружности равен 22 см. Найдите радиус этой окружности.

А) 44 см; В) 11 см; С) 4,5 см; D) 33 см; Е) 24 см.

2. Число над чертой дроби показывает, сколько равных частей взяли. Его называют ... дроби.

А) знаменателем; В) числителем; С) единицей; D) показателем; Е) частью.

3. Сколько сантиметров в ½ метра?

А) 5; В) 500; С) 50; D) 20; Е) 200.

4. Какую долю отрезка АВ составляет отрезок АС?

5.  Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют ... дроби.

А) делением; В) превращением; С) приращением; D) сокращением; Е) украшением.

6.  Сократите дробь: 40/70.

7. Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют ...

А) простым числом; В) правильной дробью; С) неправильной дробью; D) натуральным числом; Е) составным числом.

8. Выписать правильные дроби из следующих дробей:

9. Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо: 1) разделить числитель на знаменатель; 2) в качестве целой части взять неполное частное; 3) остаток (если он есть) будет числителем дробной части, а знаменатель остается тот же. Запишите в виде смешанного числа неправильную дробь 14⁄5.

10. Число, соответствующее точке координатного луча, называется ... этой точки.

А) координатой; В) аппликатой; С) обозначением; D) именем; Е) отсчетом.

11. Какое число соответствует точке М, отмеченной на координатном луче Ох?

12. Дроби с разными знаменателями можно заменить на дроби с одинаковыми знаменателями, используя ... свойство дроби.

А) основное; В) частное; С) главное; D) известное; Е) некоторое.

Ответы к тестам Вы найдете на странице "Ответы".

5.3.3. Простые и составные числа

  • Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
  •  Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
  •  Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
  • Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Примеры. Разложить составное число столбиком на простые множители:

1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
Запишем число 48, справа от него проведем вертикальную линию. Начинаем перебирать простые делители числа 48, начиная с самого меньшего — числа 2. Записываем 2 справа от линии. Под числом 48 запишем частное от деления числа 48 на 2. Это число 24, которое тоже делится на 2. Справа от числа 24 записываем 2, а под числом 24 — результат деления 24 на 2. Это число 12, которое опять делим на 2. Число 2 пишем справа, а под числом 12 ставим 6. Число 6 опять делим на 2, получаем число 3, которое пишем под числом 6. Число 3 делим на 3 и, наконец, под числом 3 пишем 1. Таким образом, получаем разложение числа 48 на простые множители: 48=2·2·2·2·3 или 48=24∙3.

Наименьший простой делитель числа 75 — это число 3, его ставим справа от вертикальной линии. В результате деления числа 75 на 3 получаем 25. Число 25 запишем под числом 75. Число 25 делится на 5, поэтому, число 5 пишем справа от числа 25, а под числом 25 запишем число 5 — результат от деления 25 на 5. Число 5 делится на 5, под ним ставим  число 1. Результат: 75=3·5·5 или 75=3∙52.

Число 80 оканчивается нулем, значит, делится на 10. Число 10 — составное, он равно произведению простых чисел 2 и 5, поэтому, удобно записать справа от вертикальной черты произведение 2·5. тогда под числом 80 запишем число 8. Число 8 делим на 2 (пишем справа 2), под числом 8 записываем число 4. Снова делим на 2, получаем 2, делим на 2, остается 1. Результат: 80=24∙5.

 

 

Число 120 разделим сразу на 10. Так как 10=2·5, то справа от вертикальной черты запишем 2·5. Под числом 120 записываем 12. Число 12 делим на 2, записываем под числом 12 число 6, которое делим на 2, а затем полученное число 3 делим на 3, получив в результате число 1. Результат: 120=23∙3∙5.

 

 

Тест 5.2.2.Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

Математика. 5 класс.             Тест 2. Вариант 2.

1. Решить уравнение: m:11=25.

A) 14; B) 275; C) 36; D) 260; E) 265.

2. Формула площади прямоугольника: S= ...

A) 4a; B)abc; C) ab; D) 2·(a+b); E) vt.

3. Сторона квадрата 5 см. Найдите его периметр и площадь.

А) 15 см и 25 см²; В) 50 см и 100 см²; С) 60 см и 120 см²; D) 10 см и 10 см²; Е) 20 см и 25 см².

4. Кратным натурального числа b называют ... число, которое делится без остатка на b.

А) простое; В) составное; С) целое; D) натуральное; Е) однозначное.

5. Все натуральные числа, запись которых оканчивается ... делятся на 5.

А) цифрой 2; В) цифрой 5; С) цифрой 0 или цифрой 5; D) цифрой 0; Е) нечетной цифрой.

6. Какие из следующих чисел делятся на 3: 123; 341; 618; 1111?

А) 123; 618; В) 123; 341; С) 618; 1111; D) 123; 618; 1111; E) 341;1111.

7. Натуральные числа, которые имеют более двух делителей, называются ... числами.

А) четными; В) целыми; С) простыми; D) составными; Е) нечетными.

8. Запись составного числа в виде произведения только простых чисел, называется разложением составного числа на простые множители. Разложить на простые множители число 28.

А) 2·7; В) 4·7; С) 2·14; D) 2²·7; Е) 1·28.

9. Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называется наибольшее ... число, на которое делится каждое из этих чисел.

А) простое; В) натуральное; С) целое; D) составное; Е) однозначное.

10. Наибольший общий делитель данных чисел можно найти путем разложения этих чисел на простые множители. Для этого надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать общие простые множители; 3) вычислить произведение полученных простых множителей. Найдите НОД(24; 36).

А) 72; В) 8; С) 6; D) 18; E) 12.

11. Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют ... натуральное число, кратное каждому из данных чисел.

А) наибольшее; В) целое; С) составное; D) наименьшее; Е) простое.

12. Наименьшее общее кратное данных натуральных чисел можно найти путем разложения этих чисел на простые множители. Для этого надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из них (наибольшего), и дополнить их недостающими множителями из разложений остальных чисел; 3) найти произведение полученных множителей. Найти НОК(20; 36).

А) 360; В) 180; С) 720; D) 4; E) 2.

Ответы к тестам Вы найдете на странице "Ответы".

Тест 5.1.2. Числовые и буквенные выражения

Математика. 5 класс.              Тест 1. Вариант 2.

1. Выражение, содержащее буквы, называется ... выражением.

А) целым; В) числовым; С) буквенным; D) правильным; Е) действенным.

2. Запишите выражение: частное суммы чисел 53 и 47 и числа 20.

А) (53+47):20; В) 53-47:20; С) (53-47):20; D) 53+47:20; Е) 53:47:20.

3. Найдите значение выражения 2а-7 при а=20.

А) 33; В) 47; С) 60; D) 40; Е)23.

4. Сочетательное свойство сложения: ...

А) a·b=b·a; B) a+b=b+a; C) (a+b)+c=a+(b+c); D) (a+b)·c=a·c+b·c; E) (a·b)·c=a·(b·c).

5. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства сложения: (22+х)+18.

А) x+30; B) 22x+18; C) x+42; D) x+4; E) 40+x.

6. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения: 9·х·8.

A) 17x; B) 72x; C) 72+x; D) 63x; E) 64x.

7. Чтобы умножить разность двух чисел на третье число, нужно умножить на это число ... и из первого произведения вычесть второе.

A) каждое слагаемое; В) уменьшаемое и вычитаемое; С) само это число; D) разность чисел; Е) указанную сумму.

8. Запишите данное выражение в виде суммы, используя распределительное свойство умножения: 7·(3+х).

А) 21+7х; B) 21x; C) 21+x; D) 10+x; E) 3+7x.

9. Запишите выражение в виде произведения: 6с-12.

A) 8c; B) 2·(c+2); C) 6·(2c); D) 18c; E) 6·(c-2).

10. Уравнением называют ..., содержащее букву, значение которой надо найти.

А) неравенство; В) произведение; С) частное; D) равенство; Е) делимое.

11. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть ...

А) известное слагаемое; В) известный делитель; С) известное частное; D) известный множитель; Е) известное уменьшаемое.

12. Решить уравнение: 37-3х=10.

A) 27; B) 10; C) 3; D) 24; E) 9.

Ответы к тестам Вы найдете на странице "Ответы".

5.4.1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Закрашенные области всех трех кругов равны между собой, но над кругами записаны различные обыкновенные дроби. Почему? И все ли верно? Да, все верно, ведь можно разделить круг на:

  • 4 части и закрасить 3 такие части;
  • 8 частей и закрасить 6 таких частей;
  • 12 частей и закрасить 9 таких частей.

Следовательно,

Мы убедились в правильности высказывания: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Примеры. Используя основное свойство дроби, замените звездочку таким числом, чтобы равенство было верным.

Рассуждаем так: числитель нужно увеличить во столько же раз, во сколько увеличили знаменатель дроби, т. е. в 4 раза (16:4=4). Вместо звездочки запишем значение 3·4=12.

Еще такие примеры.

Рассуждаем так: знаменатель нужно уменьшить во столько же раз, во сколько уменьшили числитель дроби, т. е. в 7 раз (21:3=7). Вместо звездочки запишем значение 28:7=4.

Еще такие примеры.

5.4. Обыкновенные дроби

b-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;

a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.

Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b. В наших примерах обыкновенные дроби можно было бы записать так:

  • У правильной дроби числитель меньше знаменателя.

Примеры правильных дробей.

  • У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.

Примеры неправильных дробей.

Задача. В классе 24 учащихся,  5/8 из них составляют мальчики. Сколько мальчиков в классе?

 Решение.

Решить задачу можно, составив выражение:  (24:85=15.

Ответ: 15 мальчиков в классе.

Задача.  Олово составляет 5/6 частей сплава. Найти массу сплава, если олова в нем содержится 250 г.

Решение.

Решить задачу можно, составив выражение: (250:56=300.

Ответ: масса сплава 300 г.

5.4.3. Смешанное число

  •  Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.
  •  Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.
  •  Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

Представить неправильную дробь в виде смешанного числа:

Дробная часть означает знак деления. В столбик разделим числитель 9 на знаменатель 2. Частное 4 будет целой частью смешанного числа, остаток 1 станет числителем дробной части, а знаменатель 2 останется тот же.

 

Еще такие примеры.

Записать смешанное число в виде неправильной дроби:

Число 2 — целую часть смешанного числа умножают на знаменатель 4 дробной части, к полученному произведению прибавляют число 3 — числитель дробной части смешанного числа; результат 11 станет числителем неправильной дроби, а знаменатель 4 останется тот же.

Еще такие примеры.

 

11.3.6. Решение систем показательных уравнений

Что является обязательным при решении системы показательных уравнений? Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений. 

Примеры.

Решить системы уравнений: 

 

Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.

 

Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:

2х+2x+2=10, применяем формулу: ax+y=axay.

2x+2x∙22=10, вынесем общий множитель 2х за скобки:

2х(1+22)=10 или 2х∙5=10, отсюда 2х=2.

2х=21, отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.

Ответ: (1; 2).

 Решение.

Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5.

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5.

Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.

 

 

Находим у.

 

Ответ: (2; 1,5).

Решение.

Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение относительно переменной v.

Решаем (2) -ое уравнение системы.

v (v+63)=64;

v2+63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v1+v2=-63; v1∙v2=-64.

Получаем: v1=-64, v2=1. Возвращаемся к системе, находим u.

 

Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4x=-1 и 4y=-64 решений не имеют.

Представляем 64 и 1 в виде степеней с основанием 4.

Приравниваем показатели степеней и находим х и у.

 

Ответ: (3; 0).

Ответ: (2; 1).

 

11.3.5. Решение показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам

При решении показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам, поступают так же, как в примерах решения показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям, т. е. делают замену переменных, получают квадратное неравенство, которое решают, а затем возвращаются к прежней переменной.

Примеры.

Решить неравенство:

1) (0,5)2x+2<3∙(0,5)x.

Сделаем замену: пусть (0,5)х. Получаем неравенство:

у2+2<3y или y2-3y+2<0.

Разложим квадратный трехчлен y2-3y+2 на линейные множители по формуле:

ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Находим корни приведенного квадратного уравнения y2-3y+2=0. Дискриминант D=b2-4ac=32-4∙1∙2=9-8=1=12. Так как дискриминант является полным квадратом, то применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

у12=3, у1∙у2=2. Отсюда: у1=1, у2=2. Значит, y2-3y+2=(у-1)(у-2).

Решаем неравенство: (у-1)(у-2)<0 методом интервалов.

Получаем: ує(1; 2), отсюда: (0,5)хє(1; 2).

(0,5)х=1 → (0,5)х=(0,5)0х=0.

(0,5)х=2 → (1/2)x=2 → 2x=21 → -x=1; x=-1. Значит, хє(-1; 0).

Ответ: (-1; 0).

2) 9x-1<3x-1+6.

Представим 9х-1 в виде степени числа 3.

32 (x-1)<3x-1+6. Сделаем замену: 3х-1. Тогда получается квадратное неравенство: у2<y+6. Переносим слагаемые в левую часть.

у2-у-6<0. Находим корни приведенного квадратного уравнения у2-у-6=0. Проверим, возможно ли применить теорему Виета, ведь ею пользуются только, если корни  являются целыми числами. Гарантией этого будет дискриминант, который должен быть полным квадратом некоторого числа. Находим дискриминант D=b2-4ac=1-4∙(-6)=1+24=25=52. Дискриминант является полным квадратом числа 5, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: у12=1, у1∙у2=-6. Подходят значения: у1=-2 и у2=3.

Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители, получаем:

+2)(у-3)<0. Решаем полученное неравенство методом интервалов.

ує(-2; 3). Возвращаемся к переменной х:

3х-1є(-2; 3), но так как отрицательных значений степень 3х-1 принимать не может, то запишем: 3х-1є(0; 3). Определим интервал значений переменной х.

3х-10 при х-1 → -∞, так как число 3  в степени, стремящейся к минус бесконечности, фактически будет равным нулю, значит, х→ -∞.

Далее, 3х-1=3 → 3х-1=31 → х-1=1 → х=2.

Получили хє(-∞; 2).

Ответ: (-∞; 2).

Страница 10 из 14« Первая...89101112...Последняя »
Архивы
Наверх