математика-повторение

Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.

5.6.1. Проценты

Тема «Проценты» станет понятнее с  книгой «Как решать задачи на проценты»! Узнать подробнее здесь!

  •  Процентом называется одна сотая часть.
  • Чтобы выразить проценты дробью или натуральным числом, нужно число процентов разделить на 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
  •  Чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
  •  Чтобы найти проценты от числа, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и умножить полученную дробь на данное число.
  • Чтобы найти число по его процентам, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
  •  Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно разделить первое число на второе и результат умножить на 100%.

Пример 1. Выразить проценты дробью или натуральным числом: 130%, 65%, 4%, 200%.

  1.  130%=130%:100%=130:100=1,3;
  2.  65%=65%:100%=65:100=0,65;
  3.  4%=4%:100%=4:100=0,04;
  4.  200%=200%:100%=200:100=2.

Пример 2. Записать следующие числа в виде процентов: 1; 1,5; 0,4; 0,03.

  1.  1=1·100%=100%;
  2.  1,5=1,5·100%=150%;
  3.  0,4=0,4·100%=40%;
  4.  0,03=0,03·100%=3%.

Пример 3. Найти 15% от числа 400.

Решение.

1) 15%=15%:100%=15:100=0,15;

2) 0,15·400=60.

Ответ: 60.

Пример 4. Найти число, если 18% его равны 900.

Решение.

1) 18%=18%:100%=18:100=0,18;

2) 900:0,18=90000:18=5000.

Ответ: 5000.

Пример 5. Определить, сколько процентов составляет число 320 от числа 1600.

Решение.

(320:1600)·100%=0,2·100%=20%.

Ответ: 20%.

кз 1 from Tatyana Andryuschenko
Тема «Проценты» станет понятнее с  книгой «Как решать задачи на проценты»! Узнать подробнее здесь!

5.3.5. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) данных чисел

  •  Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
  •  Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
  •  Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Пример 1. Найти НОК(35; 40).

Разложим числа 35 и 40 на простые множители.

35=5∙7,   40=2∙2∙2∙5 или 40=23∙5

Берем разложение большего числа 40 и дополняем его недостающими         множителями.  НОК(35; 40)=23∙5∙7=40∙7=280.

Ответ: НОК(35; 40)=280.

 

Пример 2. Найти НОК(45; 54).

Раскладываем числа 45 и 54 на простые множители.

45=32∙5,  54=2∙33.

Берем разложение числа 54 и умножаем на недостающие множители из разложения числа 45, т. е. на число 5.

НОК(45; 54)=2∙335=54∙5=270.

Ответ: НОК(45; 54)=270.

 

Пример 3. Найти НОК(75; 120; 150).

Разложим числа 75, 120 и 150 на простые множители.

75=3∙52,    120=23∙3∙5,  150=2∙3∙52

Возьмем разложение большего числа 150 и дополним его двумя «двойками», так как в разложении числа 120 имеется три «двойки», а в разложении числа 150 – только одна.

НОК(75; 120; 150)=2∙3∙522∙2=150∙4=600.

Ответ: НОК(75; 120; 150)=600.

Вывод: при нахождении НОК выписывают произведение всех простых (различных) множителей, имеющихся в разложениях этих чисел, причем, каждый из множителей берется с наибольшим из имеющихся показателей степеней.

5.3.4. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) данных чисел

  • Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
  •  Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
  •  Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.

Пример 1. Найти НОД(15; 35).

Решение.

Разложим данные числа на простые множители.

 15=3∙5,               35=5∙7

Общий делитель чисел 15 и 35 – это число 5.

Ответ: НОД(15; 35)=5.

 

Пример 2. Найти НОД(72; 64).

Решение.

 Разложим числа 72 и 64 на простые множители.

72=2∙2∙2∙3∙3 или 72=23∙32,          64=2∙2∙2∙2∙2∙2 или 64=26

Нужно взять произведение общих множителей: 2∙2∙2=23=8.

Ответ: НОД(72; 64)=23=8.

Примечание: из разложений данных чисел нужно брать общие множители с наименьшими показателями. У нас в первом разложении было 23, а во втором 26, поэтому, взяли 23.

 

Пример 3. Найдите наибольший общий делитель разности чисел 69 и 19 и суммы чисел 36 и 39.

Решение.

Требуется найти НОД(50; 75). Разложим эти числа на простые множители.

50=2∙52 ;              75=3∙52

Общий делитель 5 берем во второй степени.

НОД(50; 75)=52=5∙5=25.

Ответ: НОД(50; 75)=25.

 

6.9.1. Решение систем линейных уравнений графическим способом



style="display:inline-block;width:336px;height:280px"
data-ad-client="ca-pub-8602906481123293"
data-ad-slot="2890988705">


  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  •  Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

 

7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения



style="display:inline-block;width:336px;height:280px"
data-ad-client="ca-pub-8602906481123293"
data-ad-slot="2890988705">



1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)2 = a2+2ab+b

  a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)2 = a2-2ab+b2

 а)   (2ac)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2

б)   (3a5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a2–b2 = (a–b)(a+b)

a)      9x216y2 = (3x)2(4y)2 = (3x4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

а)  (2xy)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

б)  (x3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

а) 64с38 = ()323 = (2)(()2 + ·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

Секреты быстрого устного счета

           Существуют системы устного счета, позволяющие считать устно быстро и рационально. Мы рассмотрим некоторые, наиболее часто применяющиеся, приемы.
1) Умножение двузначного числа на 11.
При умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр.
Примеры.

а) 23•11=253, т. к. 2+3=5;

б) 45•11=495, т. к. 4+5=9;

в) 57•11=627, т.к. 5+7=12,  двойку поставили в серединку, а единицу добавили к разряду сотен;

г) 78•11=858, т. к. 7+8=15, то число десятков будет равно 5, а цифра сотен увеличится на единицу и будет равна 8.

А если перемножаем десятичные дроби, то умножаем, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном результате отделяем справа запятой столько цифр, сколько их стояло после запятых в обоих множителях вместе.

Примеры.

а) 3, 8•0,11=0,418, т. к. 38•11=418 и отделяем запятой справа 3 цифры (1+2);

б) — 0,32•1,1= — 0,352. Произведение чисел с разными знаками есть число отрицательное. 32•11=352 и отделили запятой 3 цифры справа.

в) 0,062•1100=68,2. Умножили 62 на 11, получили 682, приписали 2 нуля, получилось 68200 и отделили справа запятой 3 цифры. Получилось 68,200=68,2;

г) — 730•(-0,011)=8,03. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. 73 умножаем на 11, будет 803, приписываем справа нуль и отделяем запятой справа 3 цифры.

2) Произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10, т. е. 23•27; 34•36; 52•58 и т. д.

Правило: цифру десятков умножают на следующую в натуральном ряду цифру, записывают результат и приписывают к нему произведение единиц.

Примеры.

а) 23•27=621. Как получили 621? Цифру 2 умножаем на 3 (за «двойкой» идет «тройка»), будет 6 и рядом припишем произведение единиц: 3•7=21, получается 621.

б) 34•36=1224, т. к. 3•4=12, к числу 12 приписываем 24, это произведение единиц данных чисел: 4•6.

в) 52•58=3016, т. к.  цифру десятков 5 умножаем на 6, будет 30, приписываем произведение 2 и 8, т. е 16.

г) 61•69=4209. Понятно, что 6 умножили на 7 и получили 42. А откуда нуль? Единицы перемножили и получили: 1•9=9, но  результат должен быть двузначным, поэтому берем 09.

Так же, как и в предыдущих примерах множителями могут быть десятичные дроби, например, 0,34•(-3,6)= — 1, 224. (см пример 2б))

3) Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Результат равен сумме этих одинаковых цифр трехзначного числа (или числу, равному утроенной цифре трехзначного числа).

Примеры.

а) 222:37=6. Это сумма 2+2+2=6.

б) 333:37=9, т. к. 3+3+3=9.

в) 777:37=21, т. к 7+7+7=21.

г) 888:37=24, т. к. 8+8+8=24.

Принимаем во внимание и то, что  888:24=37.

Если в качестве множителей опять же взять десятичные дроби, то количество таких примеров становится огромным! Помним также правило деления числа на десятичную дробь: чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

а) 77,7:0,37=7770:37=210;

б) — 0,444:3,7= — 4,44:37= — 0,12;

в) 9,99: (- 0,27)= — 999:27= — 37;

г) — 5,55: (- 0, 037) = 5550:37=150.

Если вы теперь придумаете свои примеры на каждое из трех приведенных выше правил, то усвоите эти нехитрые приемы лучше и будете удивлять своих одноклассников и учителей, производя довольно сложные вычисления, не используя калькулятор! Удачи!

Калькуляторную зависимость можно и нужно лечить!

А как? Лекарства от этой хвори – это необходимые знания! Какие знания? Их не так и много:

1)    Таблица сложения в пределах одного десятка (двух десятков).

Мысленно представляем: из суммы каких двух натуральных чисел можно составить число 10.

1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5. Помним, что от перестановки слагаемых сумма не меняется? Хорошо.

А как получить 20?

1+19, 2+18, 3+17, 4+16, 5+15, 6+14, 7+13, 8+12, 9+11, 10+10. Прекрасно.

2)    Складываем числа поразрядно: единицы с единицами, сотни с сотнями, тысячи с тысячами и т.д.

3)    Таблица умножения. Не постесняемся взять тоненькую тетрадку в клетку, на обложке которой есть таблица умножения и повторим: дважды два-четыре и т.д.

4)    Таблица квадратов двузначных чисел от 11 до 30.

112=121, 122=144, 132=169, 142=196, 152=225, 162=256,…,302=900. Если вы составите эту таблицу сами – запомните ее лучше.

5)    Некоторые степени чисел 2, 3, 5, 7.

22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64, 27=128, 28=256,29=512, 210=1024.

32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729.

52=25, 53=125, 54=625

72=49, 73=343.

6)    Признаки делимости чисел.

Если запись числа оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8), то число делится на 2 без остатка.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Например, узнаем, делится ли число 126795 на 3. Складываем цифры числа: 1+2+6+7+9+5=30. Число 30 делится на 3, значит и само число 126795 делится на 3.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Если запись числа оканчивается на «0» или на «5», то само число делится на 5 без остатка. Например, число 126795 делится на 5.

Если запись числа оканчивается на «0», то число делится на 10 без остатка.

Если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само число делится на 4. Например, 2012 делится на 4, так как 12 делится на 4. Число 345284 делится на 4, так как 84 делится на 4.

Этих признаков деления достаточно, чтобы сокращать дроби, например.

А если число делится на 3 и на 5 – значит, оно делится на 15. Пример: число 126795 делится на 15.

Попробуйте забыть калькулятор, хотя бы на время! Удачи!

Откуда берутся пробелы в знаниях учащихся?

Откуда берутся пробелы в знаниях учащихся?
Из-за пропусков уроков — ответите вы! И будете правы лишь на 20%. Если бы все было так просто! Если подумать над этой проблемой, то можно вспомнить случаи, когда ученик, пропустивший новую тему, но освоивший ее дома самостоятельно или с родителями, репетитором или др., знает ее лучше тех, кто БЫЛ в школе и ПРИСУТСТВОВАЛ на уроке. Как же так получилось? Попробуем разобраться.
Учитель объясняет новую тему. Как правило – учащиеся внимательно слушают. После одного объяснения учителя тему понимают немногие (имеется в виду ключевая тема программы). Опытный учитель объясняет тему еще раз, используя слова-синонимы. К первым понявшим новую тему добавляются еще несколько учащихся, но, к сожалению, не весь класс. Понявшие тему (напоминаю: их пока немного, но они — лидеры) поторапливают учителя: «Давайте решать примеры (задачи)!» Что делает учитель? Правильно – «сдается». Ведь урок не «резиновый», и нужно закрепить тему примерами. Начали решать. В процессе применения новых теоретических знаний на практике еще несколько учащихся «прониклись» новой темой, но, скорее всего, знания, приобретенные последней группой учащихся, будут формальными: они смогут решать только аналогичные примеры, т.е. уже эти знания могут остаться формальными и пропадут сразу после прохождения темы. А ведь остались еще те учащиеся, которые не поняли тему ни сразу, ни на последующих примерах. Если они не получат дома помощи, то вот он – пробел в их знаниях. А что же те «благополучные» дети, которые все поняли на уроке? Они застрахованы от пробелов в знаниях по этой теме? Да нет, они будут в «зоне риска» до тех пор, пока не выполнят САМОСТОЯТЕЛЬНО письменную домашнюю работу и не заучат формулы (правила). Если на данную тему отводится хотя бы три урока, то опытный учитель способен организовать работу на уроках так, чтобы в «зоне риска» не осталось ни одного ребенка. Тогда все хорошо? Да, но только на какое-то время. Не зря ведь говорят: повторение – мать учения. И учителя готовы повторять старый материал и объяснять новый, а потом его закреплять и все опять повторять, чтобы исключить пробелы в знаниях учащихся, но надо помнить, что все наши усилия будут оправданы лишь при желании учиться самих учащихся. Поэтому, дорогие ребята, не стесняйтесь задавать вопросы учителю на уроке, требуйте повторного объяснения, пока не поймете суть темы. Обязательно учите все новые формулы, ведь после каждого урока их не так много! Не копите проблемы, решайте их по мере поступления. Не пренебрегайте домашними заданиями: учитель знает, что и сколько следует задать на дом, чтобы вы получили прочные знания. УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ!

Страница 14 из 14« Первая...1011121314
Архивы
Наверх