11 класс. Алгебра - Part 3
 
математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.
Рубрика "11 класс. Алгебра"

11.4.9.6. Формула представления любого числа в виде логарифма

p=logaap  Любое число можно представить в виде логарифма по любому основанию.

Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Примеры.

I. Представить число 2 в виде логарифма по основанию: 1) 3; 2) 5; 3) 10.

Решение.

1) 2=log33²=log39;

2) 2=log55²=log525;

3) 2=lg10²=lg100.

II. Представить в виде десятичного логарифма числа: 1) -1; 2) -2; 3) -3.

Решение.

1) -1=lg10-1=lg0,1;

2) -2=lg10-2=lg0,01;

3) -3=lg10-3=lg0,001.

Решить уравнение:

1) lg (x-9)+lg (2x-1)=2.

Решение.

lg ((x-9)(2x-1))=lg102; представили сумму логарифмов в виде логарифма произведения и число 2 в правой части равенства записали в виде десятичного логарифма (логарифма с основанием 10).

lg (2x2-18x-x+9)=lg100; упростили выражения под знаками логарифмов.

2x2-19x+9=100; получили после потенцирования.

2x2-19x-91=0. Получили квадратное уравнение вида: ax2+bx+c=0.

a=2, b=-19, c=-91.  Решим квадратное уравнение по общей формуле.

D=b2-4ac=(-19)2-4∙2∙(-91)=361+728=1089=332>0; два действительных корня:

Проверка. Значение х=-3,5 не удовлетворяет условию существования логарифма.

Проверяем данное равенство при х=13.

lg (13-9)+lg (2∙13-1)=2;

lg4+lg25=2;

lg (4∙25)=2;

lg100=2;

2=2.

Ответ: 13.

2) log3(x+1)+log3(x+3)=1.

Решение.

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, единицу в правой части представим в виде логарифма с основанием 3:

log ((x+1)(x+3))=log33;

log (x2+x+3x+3)=log33. Потенцируем:

x2+4x+3=3;

x2+4x=0;

x (x+4)=0;

x=0 или x+4=0, отсюда x=-4.

Анализируем результаты:

х=-4 не подойдет, так как при этом значении под знаком логарифма окажутся отрицательные числа, что недопустимо.

Проверим значение х=0.

Проверка.

log3(0+1)+log3(0+3)=1;

log31+log33=1;

0+1=1;

1=1.

Ответ: 0.

11.4.9.5. Логарифм от числа b в степени r по основанию a в степени r

logarbr=logab   или  logab=logarbr

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Примеры.

1) Сравнить log39 и log981.

log39=2, так как 32=9;

log981=2, так как 92=81.

Значит, log39=log981.

Заметим, что основание второго логарифма равно квадрату основания первого логарифма: 9=32, а число под знаком второго логарифма равно квадрату числа под знаком первого логарифма: 81=92. Получается, что и число и основание первого логарифма log39 были возведены во вторую степень, и значение логарифма от этого не изменилось:

Далее, так как извлечение корня n-й степени из числа а есть возведение числа а в степень (1/n), то из log981 можно получить log39 извлечением квадратного корня из числа и из основания логарифма:

2) Проверить равенство: log425=log0,50,2.

Рассмотрим первый логарифм. Извлечем квадратный корень из основания 4 и из числа 25; получаем: log425=log25.

Рассмотрим второй логарифм. Основание логарифма: 0,5=1/2. Число под знаком этого логарифма: 0,2=1/5. Возведем каждое из этих чисел в минус первую степень:

0,5-1=(1/2)-1=2;

0,2-1=(1/5)-1=5.

Таким образом, log0,50,2=log25. Вывод: данное равенство верно.

Решить уравнение:                   

log4x4+log1681=log2(5x+2).    Приведем логарифмы слева к основанию 2.

log2x2+log23=log2(5x+2). Извлекли квадратный корень из числа и из основания первого логарифма. Извлекли корень четвертой степени из числа и основания второго логарифма.

log2(3x2)=log2(5x+2). Преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения.

3x2=5x+2. Получили после потенцирования.

3x2-5x-2=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле для полного квадратного уравнения:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b2-4ac=(-5)2-4∙3∙(-2)=25+24=49=72>0; 2 действительных корня.

Проверка.

x=2.

log424+log1681=log2(5∙2+2);

log222+log23=log212;

log2(4∙3)=log212;

log212=log212;

12=12.

 

 

11.4.9.4. Логарифм от числа в степени k по основанию, взятому в степени n

loganbk=(k/n)∙logab   Формула является комбинацией двух  формул:

logabk=k∙logab и loganb=(1/n)∙logab.

Примеры.

Найти: 1) log881+log1627, если log23=a; 2) log258+log125128, если log52=b.

Решение.

Решить уравнение:

 

11.4.9.3. Логарифм по основанию а, взятом в степени n


loganb
=(1/n)∙logab     

Логарифм числа b по основанию an равен произведению дроби 1/n на логарифм числа b по основанию a.

 

Найти: 1) 21log83+40log252; 2) 30log323∙log1252, если известно, что log23=b, log52=c.

Решение.

Решить уравнения:

1) log2x+log4x+log16x=5,25.

Решение.

Приведем данные логарифмы к основанию 2.  Применим формулу: loganb=(1/n)∙logab     

log2x+(½) log2x+(¼) log2x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Приводим подобные слагаемые:

(1+0,5+0,25)·log2x=5,25;

1,75·log2x=5,25  |:1,75

log2x=3. По определению логарифма:

x=23

x=8.

Ответ: 8.

2) 0,5log4(x-2)+log16(x-3)=0,25.

Решение.  Логарифм по основанию 16 приведем к основанию 4.

0,5log4(x-2)+0,5log4(x-3)=0,25 |:0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения.

log4((x-2)(x-3))=0,5;

log4(x2-2x-3x+6)=0,5;

log4(x2-5x+6)=0,5. По определению логарифма:

x2-5x+6=40,5

x2-5x+6=2;

x2-5x+4=0. По теореме Виета:

x1=1; x2=4. Первое значение х не подойдет, так как при х=1 логарифмы данного равенства не существуют, ведь под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

Проверим данное уравнение при х=4.

Проверка.

0,5log4(4-2)+log16(4-3)=0,25

0,5log42+log161=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

0,25=0,25.

Ответ: 4.

11.4.9.2. Логарифм степени

logabk=klogab    Логарифм степени (bk) равен произведению показателя степени (k) на логарифм основания (b) этой степени.

Примеры:

1) log516=log524=4log52.

2) log59=log532=2log53.

Найти: 1) log524, 2)  log5162, если известно, что  log52=a, log53=b.

Решение. Применяем формулы логарифма произведения: loga(xy)=logax+loga

и логарифма степени: logabk=klogab.

1) log524=log5(8∙3)=log58+log53=log523+log53=3log52+log53=3a+b.

2)  log5162=log5(2∙81)=log52+log581=log52+log534=log52+4log53=a+4b.

Решить уравнение:

1) log23+2log2(x-1)=log227.

Решение.

Представим левую часть в виде логарифма по основанию 2. Для этого преобразуем 2log2(x-1) в логарифм степени, а затем сумму логарифмов в логарифм произведения:

log23+log2(x-1)2=log227;

log2(3∙(x-1)2)=log227. Потенцируем:

3∙(x-1)2=27 |:3

(x-1)2=9

(x-1)2=32

x-1=3              или              x-1=-3.

x=3+1,                                  x=-3+1.

x=4                  или              x=-2.

Анализируем полученные результаты: значение х=-2 не удовлетворяет условию существования логарифма log2(x-1), т.к.

под знаком логарифма могут находиться только положительные числа. Сделаем проверку для х=4.

Проверка.  Подставим вместо х число 4 в данное уравнение.

log23+2log2(4-1)=log227

log23+2log23=log233

3log23=3log23.

Ответ: 4.

2) 3log5(x+5) -log52=log54.

Решение.

3log5(x+5)=log54+log52;

log5(x+5)3=log5(4∙2);

log5(x+5)3=log58;

(x+5)3=8;

(x+5)3=23

x+5=2;

x=2-5;

x=-3.

Проверка.

3log5(-3+5) -log52=log54

3log52-log52=log522

2log52=2log52.

Ответ: -3.

11.4.9.1. Логарифмы. Общая формула перехода к новому основанию

logab=logcb/logca

Логарифм числа b по основанию а равен  логарифму числа b по новому основанию с, деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с.

Примеры:

1) log23=lg3/lg2;

2) log87=ln7/ln8.

Вычислить:

1) log57, если известно, что lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

Решение. Применяем формулу: logab=logcb/logca.

log57=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Ответ: log57≈1,2090≈1,209.

2) log57, если известно, что ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Решение. Применяем формулу: logab=logcb/logca.

log57=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Ответ: log57≈1,2091≈1,209.

Найдите х:

1) log3x=log34+log56/log53+log78/log73.

Используем формулу: logcb/logca=logab. Получаем:

log3x=log34+log36+log38;

log3x=log3(4∙6∙8);

log3x=log3192;

x=192.

2) log7x=lg143-log611/log610-log513/log510 

Используем формулу: logcb/logca=logab. Получаем:

log7x=lg143-lg11-lg13;

log7x=lg143- (lg11+lg13);

log7x=lg143-lg (11∙13);

log7x=lg143-lg143;

log7x=0;

x=70;

x=1.

11.4.9. Логарифмы. 1-я формула перехода к новому основанию

Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле:

logab=1/logba   Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.

Пример: log255=1/log525.

Действительно, log255=½=0,5; так как 250,5=(52)0,5=52∙0,5=51=5.

log525=2, так как 52=25.

Получаем верное равенство: 0,5=1/2.

Вычислить:

Решить уравнение: 

1) 2log2x+1/logx2=9. Применяем формулу:  logab=1/logba.  Получаем:

2log2x+log2x=9, приводим подобные слагаемые:

3log2x=9  |:3

log2x=3, далее, по определению логарифма:

x=23;

x=8.

Проверка.

Подставляем значение 8 вместо х в исходное уравнение.

2log28+1/log82=9;

2∙3+1/(1/3)=9;

6+3=9;  9=9.

Ответ: 8.

2) lg(x-2)+1/(log(x+3)10)=lg6. Применяем формулу: logab=1/logba. Получаем:

lg (x-2)+lg (x+3)=lg6, используем формулу: logax+logay=loga(xy);

lg ((x-2)∙(x+3))=lg6. Потенцируем:

(x-2)∙(x+3)=6, перемножаем двучлены:

x2-2x+3x-6=6, перенесем 6 из правой части в левую и приведем подобные слагаемые:

x2+x-12=0 – это приведенное квадратное уравнение.

x1=-4, x2=3, так как по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. числу -1 (-4+3=-1), а произведение должно быть равно свободному члену, т.е. числу -12 (-4∙3=-12).

Значение х=-4 не удовлетворяет условию существования логарифма (под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем основание логарифма не равно единице)

Сделаем проверку при х=3.

lg (3-2)+1/(log(3+3)10)=lg6

lg1+1/log610=lg6

0+lg6=lg6;     lg6=lg6.

Ответ: 3.

11.4.8. Логарифм частного

Логарифм частного.

loga(x/y)=logaxlogay

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Вычислить:

1) log324-log38=log3(24:8)=log33=1;

2) log5600-log512-log550=log5(600:12:50)=log51=0;

3) lg800-lg25-lg3,2=lg (800:25:3,2)=lg10=1.

Найти: 

1) log252,5, если log2510=a.

log252,5=log25(25:10)=log2525-log2510=1-a;

2) lg0,73, если lg7,3=b.

lg0,73=lg (7,3:10)=lg7,3-lg10=b-1;

3) ln (e/5), если ln5=c.

ln (e/5)=lne-ln5=1-c.

Решить уравнение:

1) lgx-lg (x+3)=lg2-lg5.

Левую часть равенства можно записать в виде логарифма частного х и х+3, правую часть можно записать в виде логарифма частного чисел 2 и 5. Затем, потенцируя (убирая значки логарифма), получаем равенство двух дробей.

А зачем нам дроби, если можно обойтись без них?!

Решение.

Преобразуем данное уравнение так, чтобы и слева и справа были суммы логарифмов. Для этого переносим слагаемое lg5 с противоположным знаком из  правой части равенства в левую, а lg (x+3) с противоположным знаком перенесем из левой части в правую:

lgx+lg5=lg2+lg (x+3). Теперь преобразуем в каждой части равенства сумму логарифмов в логарифм произведения, применив формулу: logax+logay=loga(x•y)

lg (x∙5)=lg (2∙(x+3)). Потенцируем, получаем:

x∙5=2∙(x+3);

5x=2x+6;

5x-2x=6;

3x=6  |:3;

x=2.

Проверка. lg2+lg5=lg2+lg (2+3);

lg2+lg5=lg2+lg5.

Ответ: 2.

2) lg (x-2) -lg6=lg3-lg (x+5).

Решение.

Преобразуем уравнение так, чтобы слева и справа были суммы логарифмов.

lg (x-2)+lg (x+5)=lg3+lg6. Применим формулу логарифма произведения: logax+logay=loga(x•y)

lg ((x-2)∙(x+5))=lg (3∙6). Потенцируем и получаем:

(x-2)∙(x+5)=36;

x2-2x+5x-10=18;

x2+3x-28=0. Дискриминант D=b2-4ac=32-4∙1∙(-28)=9+112=121=112 – полный квадрат. По теореме Виета x1+x2=-3; x1x2=-28. Отсюда подбором находим: x1=-7; x2=4.

Значение х1 не удовлетворяет условию существования логарифма. Сделаем проверку при x2=4. Подставляем это значение вместо х в исходное уравнение.

lg (4-2) -lg6=lg3-lg (4+5);

lg2-lg6=lg3-lg9                            или                lg2+lg9=lg3+lg6

logaxlogay=loga(x/y)         или            logax+logay=loga(x•y).    

lg (2/6)=lg (3/9)                            или               lg (2•9)=lg (3•6);

lg (1/3)=lg (1/3)                            или                lg18=lg18.

Ответ: 4.

11.4.7. Логарифм произведения

Логарифм произведения.

loga(x∙y)=logax+logay

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Используя формулу логарифма произведения, найти:

1) log36, если log32=a.

log36=log3(2∙3)=log32+log33=log32+1=a+1.

2) log2515, если log53=c. Ответ записать в виде многочлена.

log2515=(log5(35))2=(log53+log55)2=(c+1)2=c2+2c+1.

3) log210-log315, если log25=p, log35=k.

log210-log315=log2(2∙5) -log3(3∙5)=log22+log25- (log33+log35)=1+log25-1-log35=p-k.

Вычислить:

1) 10lg3+lg2+lg4=10lg (3∙2∙4)=10lg24=24.

2) 7lg2+lg5=7lg (2∙5)=7lg10=71=7.

3) 3log210+log23,2=3log2(10∙3,2)=3log232=35=243.

Решить уравнение:

1) lgx+lg (x-1)=lg2.

lg (x∙(x-1))=lg2 – преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения. Потенцируем и получаем равенство:

x (x-1)=2;

x2-x-2=0.  Дискриминант D=b2-4ac=12-4∙1∙(-2)=1+8=9=32. Дискриминант является полным квадратом.

По теореме Виета корни приведенного квадратного уравнения x2-x-2=0 найдем из условий: x1+x2=1;  x1∙x2=-2. Подбором находим x1=-1, x2=2.

Значение х1=-1 не удовлетворяет условию существования логарифма. Сделаем проверку для х2=2.

lg2+lg (2-1)=lg2;

lg2+lg1=lg2;

lg2=lg2.

Ответ: 2.

2) ln (x-1)+ln (x+1)=ln8.

ln ((x-1)(x+1))=ln8;

(x-1)(x+1)=8;

x2-1=8;

x2=9;

x=±3.

Значение х=-3 не является корнем уравнения, так как не удовлетворяет условию существования логарифма ln (x-1) и ln (x+1).

Сделаем проверку для х=3.

ln (3-1)+ln (x+1)=ln8;

ln2+ln4=ln8;

ln (2∙4)=ln8;

ln8=ln8.

Ответ: 3.

11.4.6. Логарифм основания

Логарифм основания.

logaa=1         Логарифм числа а по основанию а равен единице (a>0, a≠1).

Примеры:

1) log55=1,                                   2) lg10=1,                                3) lne=1,

так как 51=5.                                 так как 101=10.                       так как е1=е.

Вычислить:

2) 103-lne=103-1=102=100.

3) 172-lg10=172-1=171=17.

Решить уравнение.

1) log3(x2-4x-2)=log66.

log3(x2-4x-2)=1;

x2-4x-2=31 — по определению логарифма;

x2-4x-2-3=0;

x2-4x-5=0 – приведенное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом. Дискриминант D1=(b/2)2-ac.

D1=22-1∙(-5)=4+5=9=32 – полный квадрат.

По теореме Виета: х12=4 и х1∙х2=-5.

Корни квадратного уравнения: х1=-1, х2=5. Подставим найденные значения поочередно в данное уравнение — получаем верные равенства.

Ответ: -1; 5.

2) log3(2x-13) -lne=0.

log3(2x-13) -1=0;

log3(2x-13)=1;

2x-13=31 – по определению логарифма;

2x=3+13;

2x=16;

2x=24;

x=4.

Проверку выполняем устно, получаем верное равенство 0=0.

Ответ: 4.

Страница 3 из 41234
Архивы
Наверх