11 класс. Алгебра - Part 4
 
математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.
Рубрика "11 класс. Алгебра"

11.4.5. Логарифм единицы

Логарифм единицы.

loga1=0         Логарифм единицы равен нулю ( а>0, a≠1).

Примеры. Вычислить:

1) log71=0,                                2) lg1=0,                                     3) ln1=0,

так как  70=1.                            так как 100=1.                             так как е0=1.

4) 52log51=52∙0=50=1.            5) 43lg1=43∙0=40=1.          6) 85ln1=85∙0=80=1.

  •  e3+5lg1=e3+5∙0=e3.
  •  106ln1-2=106∙0-2=10-2=0,01.
  •  35lg1+4=35∙0+4=34=81.

Решить уравнение.

1) log2(x+4)=log81;                        2) log3(x-1)+5log181=log12(5∙0,2);

log2(x+4)=0;                                         log3(x-1)+5∙0=log121;

x+4=20;                                                log3(x-1)=0;

x+4=1;                                                  x-1=30;

x=1-4;                                                   x-1=1;

x=-3.                                                     x=2.

3) lg (2x+1) -7log21=ln1;

lg (2x+1) -7∙0=0;

lg (2x+1)=0;

2x+1=100;

2x+1=1;

2x=0;

x=0.

11.4.4. Натуральный логарифм

Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.

ln7=loge7,          ln7 – натуральный логарифм числа 7.

Примеры.

Вычислить, используя определение логарифма.

1) lne².  По определению натуральный логарифм числа  — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить число е². Очевидно, что это число 2.

 lne²=2.

2) ln (1/e). По определению натуральный логарифм числа 1/е — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить 1/е. Очевидно, что это число -1, так как е-1=1/е.

ln (1/e)=-1.

3) lne3+lne4=3+4=7.

4) lne-ln (1/e2)=1- (-2)=1+2=3.

Вычислить, применив основное логарифмическое тождество: 

и формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m .

1)    eln24=24.

2)    e2ln11=(eln11)2=112=121.

3)    e-ln20=(eln20)-1=20-1=1/20=0,05.

4)    (e4)ln5=(eln5)4=54=625.

Упростить, применив основное логарифмическое тождество: 

формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m ;

формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n и 

формулу возведения в степень произведения: (a∙b)n=an∙bn.

1)    eln4+2=eln4∙e2=4∙e2=4e2.

2)    e1+ln3=e1∙eln3=e∙3=3e.

3)    (e4+ln5)2=(e4∙eln5)2=(e4∙5)2=e4∙2∙52=e8∙25=25e8.

4)    (eln2+3)4=(eln2∙e3)4=(2∙e3)4=24∙e3∙4=16e12.

Упростить, применив основное логарифмическое тождество: 

 формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m 

формулу частного степеней с одинаковыми основаниями:  am:an=am-n  и 

формулу возведения в степень произведения: (a∙b)n=an∙bn.

1)    e2-ln3=e2:eln3=e2:3=e2/3.

2)    e1-ln5=e1:eln5=e:5=e/5=0,2e.

3)    (e5-ln10)3=(e5:eln10)3=(e5:10)3=(0,1e5)3=0,13∙e5∙3=0,001e15.

4)    (e3-ln2)4=(e3:eln2)4=(e3:2)4=(0,5e3)4=(0,5)4∙(e3)4=0,0625e12.

 

11.4.3. Десятичный логарифм

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».

lg7=log107,        lg7 – десятичный логарифм числа 7.

Примеры. Вычислить:

lg10; lg100; lg1000; lg0,1; lg0,01; lg0,001.

1)    lg10=1,  так как 101=10.

2)    lg100=2, так как102=100.

3)    lg1000=3, так как 103=1000.

4)    lg0,1=-1, так как 10-1=1/10=0,1.

5)    lg0,01=-2, так как 10-2=1/102=1/100=0,01.

6)    lg0,001=-3, так как 10-3=1/103=1/1000=0,001.

Найти значение выражения: 

10lg8;  10lg4+10lg3,5;  105lg2;  100lg3;  10lg5+2;  10lg60-1.

Используем:

  • основное логарифмическое тождество:

(см. предыдущий урок 11.4.2. «Примеры на основное логарифмическое тождество» здесь)

  • формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: aman=am+n,
  • формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=amn

1)    10lg8=8

2)    10lg4+10lg3,5=4+3,5=7,5.

3)    105lg2=(10lg2)5=25=32.

4)    100lg3=(102)lg3=(10lg3)2=32=9.

5)    10lg5+2=10lg5102=5100=500.

6)    10lg60-1=10lg60:101=60:10=6.

Решить уравнение.

1)    lgx=10lg30-1.

Упростим правую часть равенства как в предыдущих примерах.

lgx=10lg30:101;

lgx=30:10;

lgx=3;

x=103;

x=1000.

2)    lg (x+3)=2.

x+3=102;

x+3=100;

x=100-3;

x=97.

3)    lg (x+5)=-1.

x+5=10-1;

x+5=0,1;

x=0,1-5;

x=-4,9.

11.4.2. Примеры на основное логарифмическое тождество

 Это основное логарифмическое тождество.

Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.

Примеры.

Вычислить:  

При решении  используем формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m  и основное логарифмическое тождество.

Найти значение выражения:  

Используем формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: aman=am+

и основное логарифмическое тождество.

Найти значение выражения:

Используем формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=amn

и основное логарифмическое тождество.

11.4.1. Определение логарифма

Логарифмом числа b по основанию а (logab)  называют показатель степени, в которую нужно  возвести число а, чтобы получить число b.

logab=n, если an=b. Примеры: 1) log28=3, т. к. 23=8;

2) log5(1/25)=-2, т. к. 5-2=1/52=1/25;                         3) log71=0, т. к. 70=1.

 Вычислить:

1)    log464+log525.  Используем значения степеней: 43=64, 52=25 и определение логарифма.

log464+log525=3+2=5.

2)    log2log381.        Используем значения степеней: 34=81, 22=4 и определение логарифма.

log2log381=log24=2.

3)    log5log9log2512.    Используем значения степеней: 29=512, 50=1 и определение логарифма.

log5log9log2512=log5log99=log51=0.

Решить уравнение.

1)    log7x=2.          По определению логарифма составим равенство: x=72, отсюда х=49.

2)    log3(x-5)=2.

По определению логарифма:

х-5=32;

х-5=9;

х=9+5;

х=14.

3)    |log6(x+4)|=2.

Освободимся от знака модуля.

или  log6(x+4) =2;

x+4=62;

x+4=36;

x=36-4;

x=32.

 

Страница 4 из 41234
Архивы
Наверх