5 класс. Математика - Part 2
 
математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.
Рубрика "5 класс. Математика"

5.4.7. Примеры на сложение и вычитание обыкновенных дробей

I.  Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

II.  Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.

Примеры.

III.  Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.

Примеры.

IV.  Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры.

V.  При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Примеры.

Да, складывать нужно отдельно целые части и отдельно дробные части смешанного числа.

Нет, не нужно расписывать целые и дробные части смешанных чисел по отдельности.

Важно: не начинайте выполнять сложение, пока не приведете дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

Помним, что единицу можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель и знаменатель которой, являются любыми равными друг другу числами.

Важно: не начинайте выполнять вычитание, пока не приведете  дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) и не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби. А если нельзя вычесть?

Тогда «занимаете» у целой части уменьшаемого одну целую единицу, представляете ее в виде неправильной дроби с таким же знаменателем (НОЗ),  и добавляете эту неправильную дробь (раздробленную единицу) к дробной части уменьшаемого.

5.3.3. Простые и составные числа

  • Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
  •  Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
  •  Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
  • Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Примеры. Разложить составное число столбиком на простые множители:

1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
Запишем число 48, справа от него проведем вертикальную линию. Начинаем перебирать простые делители числа 48, начиная с самого меньшего — числа 2. Записываем 2 справа от линии. Под числом 48 запишем частное от деления числа 48 на 2. Это число 24, которое тоже делится на 2. Справа от числа 24 записываем 2, а под числом 24 — результат деления 24 на 2. Это число 12, которое опять делим на 2. Число 2 пишем справа, а под числом 12 ставим 6. Число 6 опять делим на 2, получаем число 3, которое пишем под числом 6. Число 3 делим на 3 и, наконец, под числом 3 пишем 1. Таким образом, получаем разложение числа 48 на простые множители: 48=2·2·2·2·3 или 48=24∙3.

Наименьший простой делитель числа 75 — это число 3, его ставим справа от вертикальной линии. В результате деления числа 75 на 3 получаем 25. Число 25 запишем под числом 75. Число 25 делится на 5, поэтому, число 5 пишем справа от числа 25, а под числом 25 запишем число 5 — результат от деления 25 на 5. Число 5 делится на 5, под ним ставим  число 1. Результат: 75=3·5·5 или 75=3∙52.

Число 80 оканчивается нулем, значит, делится на 10. Число 10 — составное, он равно произведению простых чисел 2 и 5, поэтому, удобно записать справа от вертикальной черты произведение 2·5. тогда под числом 80 запишем число 8. Число 8 делим на 2 (пишем справа 2), под числом 8 записываем число 4. Снова делим на 2, получаем 2, делим на 2, остается 1. Результат: 80=24∙5.

 

 

Число 120 разделим сразу на 10. Так как 10=2·5, то справа от вертикальной черты запишем 2·5. Под числом 120 записываем 12. Число 12 делим на 2, записываем под числом 12 число 6, которое делим на 2, а затем полученное число 3 делим на 3, получив в результате число 1. Результат: 120=23∙3∙5.

 

 

5.4.1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Закрашенные области всех трех кругов равны между собой, но над кругами записаны различные обыкновенные дроби. Почему? И все ли верно? Да, все верно, ведь можно разделить круг на:

  • 4 части и закрасить 3 такие части;
  • 8 частей и закрасить 6 таких частей;
  • 12 частей и закрасить 9 таких частей.

Следовательно,

Мы убедились в правильности высказывания: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Примеры. Используя основное свойство дроби, замените звездочку таким числом, чтобы равенство было верным.

Рассуждаем так: числитель нужно увеличить во столько же раз, во сколько увеличили знаменатель дроби, т. е. в 4 раза (16:4=4). Вместо звездочки запишем значение 3·4=12.

Еще такие примеры.

Рассуждаем так: знаменатель нужно уменьшить во столько же раз, во сколько уменьшили числитель дроби, т. е. в 7 раз (21:3=7). Вместо звездочки запишем значение 28:7=4.

Еще такие примеры.

5.4. Обыкновенные дроби

b-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;

a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.

Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b. В наших примерах обыкновенные дроби можно было бы записать так:

  • У правильной дроби числитель меньше знаменателя.

Примеры правильных дробей.

  • У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.

Примеры неправильных дробей.

Задача. В классе 24 учащихся,  5/8 из них составляют мальчики. Сколько мальчиков в классе?

 Решение.

Решить задачу можно, составив выражение:  (24:85=15.

Ответ: 15 мальчиков в классе.

Задача.  Олово составляет 5/6 частей сплава. Найти массу сплава, если олова в нем содержится 250 г.

Решение.

Решить задачу можно, составив выражение: (250:56=300.

Ответ: масса сплава 300 г.

5.4.3. Смешанное число

  •  Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.
  •  Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.
  •  Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

Представить неправильную дробь в виде смешанного числа:

Дробная часть означает знак деления. В столбик разделим числитель 9 на знаменатель 2. Частное 4 будет целой частью смешанного числа, остаток 1 станет числителем дробной части, а знаменатель 2 останется тот же.

 

Еще такие примеры.

Записать смешанное число в виде неправильной дроби:

Число 2 — целую часть смешанного числа умножают на знаменатель 4 дробной части, к полученному произведению прибавляют число 3 — числитель дробной части смешанного числа; результат 11 станет числителем неправильной дроби, а знаменатель 4 останется тот же.

Еще такие примеры.

 

5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

 

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

 

 

Сокращаем дробь на 7.

 

 

 

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

 

 

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

 

 

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

 

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7².

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5).

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7.

 

 

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14.

А можно было записать разложения числителя и знаменателя  в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь 9/14.

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3.

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3. Сокращаем дробь на 3.  Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7. Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь 9/14.

5.4.4. Изображение чисел на координатном луче

  • Луч Ох с началом отсчета в точке О,  на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.
  • Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3). Читают: точка А с координатой 3.

Примеры.

1) Отметить на координатном луче точки А(4), В(8), С(12).

Выбираем единичный отрезок — одну клетку.

  • Тогда 1 клетка будет соответствовать числу 1;
  • 4 клетки от начала отсчета будут соответствовать числу 4;
  • 8 клеток — числу 8, а 12 клеток — числу 12.

Читают: точка А с координатой 4. Точка В с координатой 8. Точка С с координатой 12.

 

 

2) Изобразить на координатном луче все правильные дроби со знаменателем, равным 12.

Выбираем единичный отрезок — 12 клеток. Тогда одна клетка будет равна одной двенадцатой доли единичного отрезка, равного 12 клеткам.

Любому числу координатного луча соответствует единственная точка. И если под и над  точкой стоят два числа, то это означает, что эти два числа равны между собой (смотрите тему: «Сокращение обыкновенных дробей»).

 

3) Начертить координатный луч, выбрать единичный отрезок, равный 6 клеткам и отметить точки: А( 1/6), В(2/3), С(1½), D (21/3).

За единичный отрезок мы взяли 6 клеток.

  • 1 клетка — это одна шестая часть единичного отрезка, т. е дробь 1/6.
  • 2 клетки — две шестые части единичного отрезка или дробь 1/3 (2/6=1/3).
  • 3 клетки — три шестые части единичного отрезка или дробь ½ (3/6=½).
  • 4 клетки — четыре шестые части единичного отрезка или дробь 2/3 (4/6=2/3).
  • 5 клеток — пять шестых частей единичного отрезка или несократимая дробь 5/6.
  • 6 клеток — шесть шестых или один единичный отрезок (6/6=1).

Число означает, что ½ единичного отрезка (3 клетки) следует откладывать не от нуля, а от 1 целой.

Число 21/изображаем так: отсчитываем 2 целые единицы (2·6=12 клеток) и еще клетки.

 

4) На координатном луче отметить точки: А(5/8), В(1¾), С(2½).

Смотреть видео в хорошем разрешении на моём канале.


5.5.3. Вычитание десятичных дробей

Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей, нужно: 1) уравнять количество десятичных знаков в уменьшаемом и вычитаемом; 2) подписать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую, и в полученном результате поставить запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.

Примеры. Выполнить вычитание десятичных дробей.

1) 24,538-18,292.

Решение. Записали вычитаемое под уменьшаемым так, что запятая оказалась под запятой. Выполнили вычитание, не обращая внимания на запятые и в полученном результате поставили запятую под запятыми в данных дробях.

24,538-18,292=6,246.

 

2) 145,723-98,943.

Решаем аналогично. Получили разность 46,780. Если убрать нуль на конце десятичной дроби, то значение дроби не изменится.

145,723-98,943=46,78.

 

 

3) 18-7,61.

Решение. Уравняем количество знаков после запятых в уменьшаемом и вычитаемом. Подписываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая оказалась под запятой. Выполняем вычитание, не обращая внимания на запятые, и в полученной разности ставим запятую под запятыми в данных дробях.

18-7,61=10,39.

5.5.2. Сложение десятичных дробей

Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество десятичных знаков; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых дробях.

Примеры. Сложить десятичные дроби.

1) 0,07+13,23.

Решение. Применим переместительный закон сложения: 0,07+13,23=13,23+0,07 и запишем дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Складываем, не обращая внимания на запятую. В полученной сумме поставим запятую под запятыми в слагаемых. Нуль на конце полученного результата 13,30 можно отбросить.

13,23+0,07=13,3.

 

2) 11,21+9,3.

Решение. Записываем данные дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Уравниваем количество знаков после запятых в слагаемых. Для этого припишем справа нуль к дроби 9,3. Складываем, не обращая внимания на запятые и ставим в сумме запятую под запятыми в слагаемых.

11,23+9,3=20,51.

 

3) Вычислить рациональным способом. 1,245+(0,755+3,02).

Решение. Используем переместительный и сочетательный законы сложения.

1,245+(0,755+3,02)=(1,245+0,755)+3,02=2+3,02=5,02.

Пояснение: у слагаемых 1,245 и 0,755 одинаковое количество знаков после запятых (по три цифры), поэтому, удобно сложить их устно, как складывают целые числа, а затем отделить справа запятой три цифры, как было в слагаемых. Получилось 2,000. Три нуля после запятой отбрасываем, получается число 2. Прибавили 3,02 и получили 5,02.

1,245+(0,755+3,02)=5,02.

 

5.5.1. Сравнение десятичных дробей

  •  Десятичной дробью называют число, записанное в десятичной системе и имеющее разряды меньше единицы. (3,25; 0,1457 и т. д.)
  •  Знаки, стоящие в десятичной дроби после запятой, называют десятичными знаками.
  •  Десятичная дробь не изменится, если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нули.

Обыкновенную дробь со знаменателем, записанным в виде единицы с последующими нулями, можно записать в виде десятичной дроби.

123,4567 — десятичная дробь. Читают: сто двадцать три целых, четыре тысячи пятьсот шестьдесят семь десятитысячных.

Разряды:

  • 1 — сотни;
  • 2 — десятки;
  • 3 — единицы;
  • 4 — десятые;
  • 5 — сотые;
  • 6 — тысячные;
  • 7 — десятитысячные.

4,017 — десятичная дробь. Читают: четыре целые, семнадцать тысячных.

Разряды:

  • 4 — единицы;
  • 0 — десятые;
  • 1 — сотые;
  • 7 — тысячные.

Пример 1. Сравнить десятичные дроби 0,893 и 0,9.

Решение.

Уравняем число знаков после запятых, приписав к дроби 0,9 справа два нуля. Сравниваем поразрядно  десятичные дроби 0,893 и 0,900.

0,893<0,900.     Ответ: 0,893<0,9.

Пример 2. Сравнить числа 2/5 и 0,39.

Запишем обыкновенную дробь 2/5 в виде десятичной дроби. Сравниваем 0,4 и 0,39. Припишем к дроби 0,4 справа один нуль и сравним 0,40 и 0,39.

0,40>0,39.     Ответ: 2/5>0,39.

Пример 3. Изобразить на координатном луче десятичные дроби 0,5; 0, 3; 0,9.

Меньшее число будет располагаться на координатном луче левее, а большее — правее.

Так как 0,3<0,5<0,9, то крайним слева будет число 0,3, а крайним справа число 0,9.

Выберем единичный отрезок, равный 10 клеткам.

Одна клетка — это 1/10 единичного отрезка.

Тогда числу 0,3 будут соответствовать три клетки,

числу 0,5 — пять клеток, а числу 0,9 — девять клеток.

 

Страница 2 из 3123
Архивы
Наверх