5 класс. Математика - Part 3
 
математика-повторение Закрепляем и систематизируем знания основ школьной математики.
Рубрика "5 класс. Математика"

5.6.1. Проценты

Тема «Проценты» станет понятнее с  книгой «Как решать задачи на проценты»! Узнать подробнее здесь!

  •  Процентом называется одна сотая часть.
  • Чтобы выразить проценты дробью или натуральным числом, нужно число процентов разделить на 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
  •  Чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
  •  Чтобы найти проценты от числа, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и умножить полученную дробь на данное число.
  • Чтобы найти число по его процентам, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
  •  Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно разделить первое число на второе и результат умножить на 100%.

Пример 1. Выразить проценты дробью или натуральным числом: 130%, 65%, 4%, 200%.

  1.  130%=130%:100%=130:100=1,3;
  2.  65%=65%:100%=65:100=0,65;
  3.  4%=4%:100%=4:100=0,04;
  4.  200%=200%:100%=200:100=2.

Пример 2. Записать следующие числа в виде процентов: 1; 1,5; 0,4; 0,03.

  1.  1=1·100%=100%;
  2.  1,5=1,5·100%=150%;
  3.  0,4=0,4·100%=40%;
  4.  0,03=0,03·100%=3%.

Пример 3. Найти 15% от числа 400.

Решение.

1) 15%=15%:100%=15:100=0,15;

2) 0,15·400=60.

Ответ: 60.

Пример 4. Найти число, если 18% его равны 900.

Решение.

1) 18%=18%:100%=18:100=0,18;

2) 900:0,18=90000:18=5000.

Ответ: 5000.

Пример 5. Определить, сколько процентов составляет число 320 от числа 1600.

Решение.

(320:1600)·100%=0,2·100%=20%.

Ответ: 20%.

кз 1 from Tatyana Andryuschenko
Тема «Проценты» станет понятнее с  книгой «Как решать задачи на проценты»! Узнать подробнее здесь!

5.3.5. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) данных чисел

  •  Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
  •  Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
  •  Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Пример 1. Найти НОК(35; 40).

Разложим числа 35 и 40 на простые множители.

35=5∙7,   40=2∙2∙2∙5 или 40=23∙5

Берем разложение большего числа 40 и дополняем его недостающими         множителями.  НОК(35; 40)=23∙5∙7=40∙7=280.

Ответ: НОК(35; 40)=280.

 

Пример 2. Найти НОК(45; 54).

Раскладываем числа 45 и 54 на простые множители.

45=32∙5,  54=2∙33.

Берем разложение числа 54 и умножаем на недостающие множители из разложения числа 45, т. е. на число 5.

НОК(45; 54)=2∙335=54∙5=270.

Ответ: НОК(45; 54)=270.

 

Пример 3. Найти НОК(75; 120; 150).

Разложим числа 75, 120 и 150 на простые множители.

75=3∙52,    120=23∙3∙5,  150=2∙3∙52

Возьмем разложение большего числа 150 и дополним его двумя «двойками», так как в разложении числа 120 имеется три «двойки», а в разложении числа 150 – только одна.

НОК(75; 120; 150)=2∙3∙522∙2=150∙4=600.

Ответ: НОК(75; 120; 150)=600.

Вывод: при нахождении НОК выписывают произведение всех простых (различных) множителей, имеющихся в разложениях этих чисел, причем, каждый из множителей берется с наибольшим из имеющихся показателей степеней.

5.3.4. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) данных чисел

  • Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
  •  Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
  •  Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.

Пример 1. Найти НОД(15; 35).

Решение.

Разложим данные числа на простые множители.

 15=3∙5,               35=5∙7

Общий делитель чисел 15 и 35 – это число 5.

Ответ: НОД(15; 35)=5.

 

Пример 2. Найти НОД(72; 64).

Решение.

 Разложим числа 72 и 64 на простые множители.

72=2∙2∙2∙3∙3 или 72=23∙32,          64=2∙2∙2∙2∙2∙2 или 64=26

Нужно взять произведение общих множителей: 2∙2∙2=23=8.

Ответ: НОД(72; 64)=23=8.

Примечание: из разложений данных чисел нужно брать общие множители с наименьшими показателями. У нас в первом разложении было 23, а во втором 26, поэтому, взяли 23.

 

Пример 3. Найдите наибольший общий делитель разности чисел 69 и 19 и суммы чисел 36 и 39.

Решение.

Требуется найти НОД(50; 75). Разложим эти числа на простые множители.

50=2∙52 ;              75=3∙52

Общий делитель 5 берем во второй степени.

НОД(50; 75)=52=5∙5=25.

Ответ: НОД(50; 75)=25.

 

Страница 3 из 3123
Архивы
Наверх